试题分析:(1)由是数列,,,有,根据定义可知,,从而写出满足条件的数列的前项;(2)先证必要性,设数列是等比数列,(为公比且),由定义(为与无关的常数),则;再证充分性,若一个等比数列的公比,则, ,所以 为数列;若一个等比数列的公比,则,,所以得证.(3)先利用题中所给条件表示出 ,假设存在正整数使不等式对一切都成立.即,当时,,又为正整数,.接着证明对一切都成立.利用进行裂项相消. 试题解析:(1)由是数列,,,有, 于是, 所有满足条件的数列的前项为: ;;;. 4分 (2)(必要性)设数列是等比数列,(为公比且),则 ,若为数列,则有 (为与无关的常数) 所以,或. 2分 (充分性)若一个等比数列的公比,则, ,所 以 为数列; 若一个等比数列的公比,则, , 所以为数列. 4分 (3)因数列中,则 , 所以数列的前项和 1分 假设存在正整数使不等式对一 切都成立.即 当时,,又为正整数, . 3分 下面证明:对一切都成立. 由于 所以 5分 |