已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和为S5=35,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn为数列的前n项和
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已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和为S5=35,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn为数列的前n项和
题型:不详
难度:
来源:
已知各项均不相等的等差数列{
a
n
}的前5项和为
S
5
=35,且
a
1
+1,
a
3
+1,
a
7
+1成等比数列.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)设
T
n
为数列
的前
n
项和,问是否存在常数
m
,使
T
n
=
m
,若存在,求
m
的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)
a
n
=2
n
+1.(2)存在常数
m
=
解析
(1)设数列{
a
n
}的公差为
d
,由已知得
a
3
=
a
1
+2
d
=7,又
a
1
+1,
a
3
+1,
a
7
+1成等比,所以8
2
=(8-2
d
)(8+4
d
),解得
a
1
=3,
d
=2,所以
a
n
=2
n
+1.
(2)由(1)得
S
n
=
n
(
n
+2)
=
=
,所以
T
n
=
[(1-
)+(
-
)+(
-
)+…+
+
]=
(1+
-
-
)=
,故存在常数
m
=
.
举一反三
已知
n
∈N
*
,数列{
d
n
}满足
d
n
=
,数列{
a
n
}满足
a
n
=
d
1
+
d
2
+
d
3
+…+
d
2
n
,又知在数列{
b
n
}中,
b
1
=2,且对任意正整数
m
,
n
,
.
(1)求数列{
a
n
}和数列{
b
n
}的通项公式;
(2)将数列{
b
n
}中的第
a
1
项,第
a
2
项,第
a
3
项,…,第
a
n
项,…删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{
c
n
},求数列{
c
n
}的前2 013项和.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
满足
S
n
+
a
n
+
n
-1
=2(
n
∈N
*
),设
c
n
=2
n
a
n
.
(1)求证:数列{
c
n
}是等差数列,并求数列{
a
n
}的通项公式.
(2)按以下规律构造数列{
b
n
},具体方法如下:
b
1
=
c
1
,
b
2
=
c
2
+
c
3
,
b
3
=
c
4
+
c
5
+
c
6
+
c
7
,…,第
n
项
b
n
由相应的{
c
n
}中2
n
-1
项的和组成,求数列{
b
n
}的通项
b
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知{
a
n
}为等差数列,且
a
2
=-1,
a
5
=8.
(1)求数列{|
a
n
|}的前
n
项和;
(2)求数列{2
n
·
a
n
}的前
n
项和.
题型:不详
难度:
|
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设数列{
a
n
}的各项都是正数,且对任意
n
∈N
*
,都有
+…+
=
,记
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)若
b
n
=3
n
+(-1)
n
-1
λ
·2
a
n
(
λ
为非零常数,
n
∈N
*
),问是否存在整数
λ
,使得对任意
n
∈N
*
,都有
b
n
+1
>
b
n
.
题型:不详
难度:
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已知数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=3
n
-1
,在等差数列{
b
n
}中,
b
n
>0(
n
∈N
*
),且
b
1
+
b
2
+
b
3
=15,又
a
1
+
b
1
,
a
2
+
b
2
,
a
3
+
b
3
成等比数列.
(1)求数列{
b
n
}的通项公式;
(2)求数列{
a
n
·
b
n
}的前
n
项和
T
n
.
题型:不详
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