已知首项为的等比数列{an}是递减数列,其前n项和为Sn,且S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若,数列{bn}
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已知首项为的等比数列{an}是递减数列,其前n项和为Sn,且S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若,数列{bn}
题型:不详
难度:
来源:
已知首项为
的等比数列{a
n
}是递减数列,其前n项和为S
n
,且S
1
+a
1
,S
2
+a
2
,S
3
+a
3
成等差数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若
,数列{b
n
}的前n项和T
n
,求满足不等式
≥
的最大n值.
答案
(I)a
n
=a
1
=(
)
n
;(Ⅱ)n的最大值为4.
解析
试题分析:(I){a
n
}是一等比数列,且a
1
=
.设等比数列{a
n
}的公比为q,由S
1
+a
1
,S
2
+a
2
,S
3
+a
3
成等差数列,可得一个含公比q的方程,解这个方程便得公比q,从而得数列{a
n
}通项公式.
(Ⅱ)由题设及(I)可得:b
n
=a
n
log
2
a
n
=-n∙(
)
n
,由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列,求和时用错位相消法.用错位相消法可求得
,变形得
≥
,解这个不等式得n≤4,从而得 n的最大值.
试题解析:(I)设等比数列{a
n
}的公比为q,由题知 a
1
=
,
又∵ S
1
+a
1
,S
2
+a
2
,S
3
+a
3
成等差数列,
∴ 2(S
2
+a
2
)=S
1
+a
1
+S
3
+a
3
,
变形得S
2
-S
1
+2a
2
=a
1
+S
3
-S
2
+a
3
,即得3a
2
=a
1
+2a
3
,
∴
q=
+q
2
,解得q=1或q=
, 4分
又由{a
n
}为递减数列,于是q=
,
∴ a
n
=a
1
=(
)
n
. 6分
(Ⅱ)由于b
n
=a
n
log
2
a
n
=-n∙(
)
n
,
∴
,
于是
,
两式相减得:
∴
.
∴
≥
,解得n≤4,
∴ n的最大值为4. 12分
举一反三
已知首项为
的等比数列{a
n
}是递减数列,其前n项和为S
n
,且S
1
+a
1
,S
2
+a
2
,S
3
+a
3
成等差数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)已知
,求数列{b
n
}的前n项和
.
题型:不详
难度:
|
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数列
的首项为3,
为等差数列且
,若
,
,则
( )
A.0
B.3
C.8
D.11
题型:不详
难度:
|
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设各项均为正数的数列
的前
项和为
,满足
且
恰好是等比数列
的前三项.
(Ⅰ)求数列
、
的通项公式;
(Ⅱ)记数列
的前
项和为
,若对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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等差数列前
项和为
,若
,则
的值是( )
A. 130
B. 65
C. 70
D. 75
题型:不详
难度:
|
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在等差数列
中,
,
,则该数列前20项的和为____.
题型:不详
难度:
|
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