已知函数(为常数,且),且数列是首项为4,公差为2的等差数列。(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)若,当时,求数列的前n项和。
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已知函数(为常数,且),且数列是首项为4,公差为2的等差数列。(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)若,当时,求数列的前n项和。
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
(
为常数,
且
),且数列
是首项为4,公差为2的等差数列。
(Ⅰ)求证:数列
是等比数列;
(Ⅱ)若
,当
时,求数列
的前n项和
。
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
.
解析
试题分析:(Ⅰ)数列
是等比数列,只需证明
等于一个与
无关的常数即可,由已知数列
是首项为4,公差为2的等差数列,故
,即
,可求得
,代入
即可数列
是等比数列;(Ⅱ)若
,当
时,求数列
的前
项和
,首先求出数列
的通项公式,由(Ⅰ)可知
,故
,这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列,可利用错位相减法来求和,可求得
.
试题解析:(Ⅰ)由题意知f(a
n
)=4+(n-1)×2=2n+2, (2分)
即log
k
a
n
=2n+2,∴a
n
=k
2n
+2
, (3分)
∴
. (5分)
∵常数k>0且k≠1,∴k
2
为非零常数,
∴数列{a
n
}是以k
4
为首项,k
2
为公比的等比数列。 (6分)
(Ⅱ)由(1)知,b
n
=a
n
f(a
n
)=k
2n
+2
·(2n+2),
当k=
时,b
n
=(2n+2)·2
n
+1
=(n+1)·2
n
+2
. (8分)
∴S
n
=2·2
3
+3·2
4
+4·2
5
++(n+1)·2
n
+2
, ①
2S
n
=2·2
4
+3·2
5
++n·2
n
+2
+(n+1)·2
n
+3
, ② (10分)
②-①,得S
n
=―2·2
3
―2
4
―2
5
――2
n
+2
+(n+1)·2
n
+3
=―2
3
―(2
3
+2
4
+2
5
++2
n
+2
)+(n+1)·2
n
+3
,
∴S
n
=―2
3
―
+(n+1)·2
n
+3
=n·2
n
+3
. (12分)
举一反三
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
2
=3,a
6
=11,则S
7
=( )
A.91
B.
C.98
D.49
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
-(a-1)x-b-1,当x∈[b, a]时,函数f(x)的图像关于y轴对称,数列
的前n项和为S
n
,且S
n
=f(n).
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)设
,T
n
=b
1
+b
2
++b
n
,若T
n
>2
m
,求m的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{
}的首项a
1
=1,公差d>0,且
分别是等比数列{
}的b
2
,b
3
,b
4
.
(I)求数列{
}与{{
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{
}对任意自然数n均有
成立,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知
为等比数列,其中a
1
=1,且a
2
,a
3
+a
5
,a
4
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式:
(2)设
,求数列{
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知
为等差数列,且
,
,则S
l0
的值为
A.50
B.45
C.55
D.40
题型:不详
难度:
|
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