已知函数(为常数,且),且数列是首项为4,公差为2的等差数列。(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)若,当时,求数列的前n项和。

已知函数(为常数,且),且数列是首项为4,公差为2的等差数列。(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)若,当时,求数列的前n项和。

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已知函数(为常数,),且数列是首项为4,公差为2的等差数列。
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)若,当时,求数列的前n项和
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)
解析

试题分析:(Ⅰ)数列是等比数列,只需证明等于一个与无关的常数即可,由已知数列是首项为4,公差为2的等差数列,故,即,可求得,代入即可数列是等比数列;(Ⅱ)若,当时,求数列的前项和,首先求出数列的通项公式,由(Ⅰ)可知,故,这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列,可利用错位相减法来求和,可求得
试题解析:(Ⅰ)由题意知f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,           (2分)
即logkan=2n+2,∴an=k2n+2,                         (3分)
.                              (5分)
∵常数k>0且k≠1,∴k2为非零常数,
∴数列{an}是以k4为首项,k2为公比的等比数列。         (6分)
(Ⅱ)由(1)知,bn=anf(an)=k2n+2·(2n+2),
当k=时,bn=(2n+2)·2n+1=(n+1)·2n+2.           (8分)
∴Sn=2·23+3·24+4·25++(n+1)·2n+2, ①
2Sn=2·24+3·25++n·2n+2+(n+1)·2n+3, ②         (10分)
②-①,得Sn=―2·23―24―25――2n+2+(n+1)·2n+3   
=―23―(23+24+25++2n+2)+(n+1)·2n+3,
∴Sn=―23+(n+1)·2n+3=n·2n+3.       (12分)
举一反三
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,a6=11,则S7=(   )
A.91B.C.98D.49

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已知函数f(x)=x2-(a-1)x-b-1,当x∈[b, a]时,函数f(x)的图像关于y轴对称,数列的前n项和为Sn,且Sn=f(n).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,Tn=b1+b2++bn,若Tn>2m,求m的取值范围。
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已知等差数列{}的首项a1=1,公差d>0,且分别是等比数列{}的b2,b3,b4
(I)求数列{}与{{}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{}对任意自然数n均有成立,求的值.
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已知为等比数列,其中a1=1,且a2,a3+a5,a4成等差数列.
(1)求数列的通项公式:
(2)设,求数列{}的前n项和Tn
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已知为等差数列,且,,则Sl0的值为
A.50B.45C.55D.40

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