试题分析:本题考查数列的求值,等比数列的证明和研究不等式的恒成立问题.(1)通过题设条件给出的数列关系,求出数列的初始值;(2)根据等比数列的定义,分别得到证明,其中应说明第一项不为零;(3)探求是否存在唯一的正整数使得恒成立分两步求解,先通过数列,的单调性得到,再证明证整数时唯一的,求解有关数列的综合问题,主要是要明确解题方向,合理利用数列的相关性质化难为易,化繁为简,同时还要注意解题步骤的规范性和严谨性. 试题解析:(1)依题意,; (2)证明:依题意,对任意正整数有,即, , 又,数列是首项为,公比为的等比数列, ,又, 数列是首项为,公比为的等比数列. (3)由(2)得,解得,显然,数列是单调递增的数列,是单调递减的数列,即存在正整数,使得对任意的,有, 又令得,而,,, ,解得,即对任意的且时,, 正整数也是唯一的. 综上所述,存在唯一的正整数,使得对任意的,有. |