设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中 为数列的前项和。(1)求证数列是等差数列；(2）若数列的前项和为Tn,求Tn。

题型：不详难度：来源：

设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中 为数列的前项和。
(1)求证数列是等差数列；
(2）若数列的前项和为T_n,求T_n。

答案

（1）证明详见解析；（2）

解析

试题分析：（1）利用（）和已知等式可得，由于，.然后再求n=1时，a₁的值即可求证；
（2）利用（1）的结论，首先求出，然后在求出，这样就可得到=，最后在利用裂项法求数列的前n项和.
试题解析：解：（1）∵，当时，，
两式相减，得，即
，又，∴.      4分
当时,,∴,又,∴.
所以,数列是以3为首项,2为公差的等差数列.               6分
（2）由（1） ,∴.
设,； ∵ ， ∴
∴                      10分
=
=                                            12分