已知数列的首项其中,,令集合.(1)若是数列中首次为1的项,请写出所有这样数列的前三项;(2)求证:对恒有成立;(3)求证:.
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已知数列的首项其中,,令集合.(1)若是数列中首次为1的项,请写出所有这样数列的前三项;(2)求证:对恒有成立;(3)求证:.
题型:不详
难度:
来源:
已知数列
的首项
其中
,
,令集合
.
(1)若
是数列
中首次为1的项,请写出所有这样数列的前三项;
(2)求证:对
恒有
成立;
(3)求证:
.
答案
(1)9,3,1或2,3,1;(2)详见解析;(3)详见解析.
解析
试题分析:(1)从
入手,反过来求
.从条件可看出,首先分
讨论,然后分
讨论.
(2)首先由递推公式将
用
表示出来,再与
比较即可.
(3)注意
.当
或2、3时,可求出前三项,前三项就是1、2、3三个数,结论成立.
那么当
时,结论是否成立?由递推公式的结构
可以看出,当
时,数列中的项最终必将小于或等于3.现在的问题是如何来证明这一点.注意(2)小题的结论,由
可得
,这说明,“若
,则
”,这样依次递减下去,数列中的项最终必将小于或等于3.一旦小于等于3,则必有1、2、3,从而问题得证.
试题解析:(1)由题设知,数列
各项均大于0.
当
时,
.若
,则
;若
,则
.
所以前三项分别为9,3,1或2,3,1.
当
时,
,不合题意,舍去.
综上得,前三项分别为9,3,1或2,3,1.
(2)①当
被3除余1时,由已知可得
,
;
②当
被3除余2时,由已知可得
,
.
若
仍为3的倍数,则
;若
不为3的倍数,则
.
总之,都有
;
③当
被3除余0时,由已知可得
.
若
都是3的倍数,则
.
若
是3的倍数,
不是3的倍数,则
.
若
不是3的倍数,
是3的倍数,则
.
以上三种情况,都有
;
综合①②③,有
.
(3)注意
.若
,则
,
.
若
,则
,
.
若
,则
,
.
以上三种情况都有
(实际上
).
下面证明,当
时,数列
中必存在某一项
.
由(2)可得
,
所以,对于数列
中的任意一项
,“若
,则
”.由此可知,若
仍然大于3,则
,这样依次递减下去,最终必存在某一项
.
所以如果
,则数列
中必存在某一项
.
由前面的计算知,只要数列中存在小于等于3的项,则必有1、2、3三个数,
所以
.
举一反三
设数列
满足
,且对任意
,函数
满足
,若
,则数列
的前
项和
为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
中,
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)当
取最大值时求
的值.
题型:不详
难度:
|
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数列{
}满足
若
=
,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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数列
满足:
,
,若数列
有一个形如
的通项公式,其中
、
均为实数,且
,
,则
________,
.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线
,过
上一点
作一斜率为
的直线交曲线
于另一点
(
且
,点列
的横坐标构成数列
,其中
.
(1)求
与
的关系式;
(2)令
,求证:数列
是等比数列;
(3)若
(
为非零整数,
),试确定
的值,使得对任意
,都有
成立.
题型:不详
难度:
|
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