已知曲线,过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点(且,点列的横坐标构成数列,其中.(1)求与的关系式;(2)令,求证:数列是等比数列;(3)若(为非零整数,),

已知曲线,过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点(且,点列的横坐标构成数列,其中.(1)求与的关系式;(2)令,求证:数列是等比数列;(3)若(为非零整数,),

题型:不详难度:来源:
已知曲线,过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点,点列的横坐标构成数列,其中.
(1)求的关系式;
(2)令,求证:数列是等比数列;
(3)若为非零整数,),试确定的值,使得对任意,都有成立.
答案
(1);(2)详见解析;(3).
解析

试题分析:(1)先根据直线的斜率为,利用斜率公式与构建等式,通过化简得到的关系式;(2)在(1)的基础上,将代入,通过化简运算得出之间的等量关系,然后根据等比数列的定义证明数列是等比数列;(3)先求出数列的通项公式,进而求出数列的通项公式,将进行作差得到,对为正奇数和正偶数进行分类讨论,结合参数分离法求出在相应条件的取值范围,最终再将各范围取交集,从而确定非零整数的值.
试题解析:(1)由题意知,所以
(2)由(1)知

,故数列是以为公比的等比数列;
(3)

为正奇数时,则有
由于数列对任意正奇数单调递增,故当时,取最小值,所以
为正偶数时,则有
而数列对任意正偶数单调递减,故当时,取最大值,所以
综上所述,,由于为非零整数,因此
举一反三
等差数列的公差不为零,首项的等比中项,则数列的前项之和是 (  )
A.B.C.D.

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已知等差数列项和为,且+=13,=35,则=(  ) 
A.8B.9C.10D.11

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设等差数列的前项和为,若,则的值等于(  )
A.54B.45C.36D.27

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在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且.
(1)求;(2)设数列满足,求的前项和.
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已知是正数组成的数列,,且点在函数的图象上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,求证:
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