设数列的前项和满足,其中.⑴若,求及;⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.

设数列的前项和满足,其中.⑴若,求及;⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.

题型:不详难度:来源:
设数列的前项和满足,其中.
⑴若,求;
⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.
答案
(1);(2)当且仅当时等号成立.
解析

试题分析:(1)已知 与 的关系式求出首项和通项,通常都是取特值和写一个递推式相减即可.(2)由(1)得到,分析第1,2项可得后要证的问题等价于本题是通过利用对称项的关系来证明的,该对称项是通过对的范围的讨论得到的. 通过累加后得到,然后不等式的两边同时加上即可得到答案.
试题解析:⑴ ………①,
时代入①,得,解得;
由①得,两式相减得(),故,故为公比为2的等比数列,
(对也满足);
⑵当时,显然,等号成立.
,,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:
 
即证:
时,上面不等式的等号成立.
时,,()同为负;
时,   ,()同为正;
因此当时,总有 ()()>0,即
,().
上面不等式对从1到求和得,;
由此得 ;
综上,当时,有,当且仅当时等号成立.
举一反三
已知{}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,为{}的前n项和,n∈N﹡,则S10的值为(     )
A.-110B.-90C.90D.110

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已知各项均为正数的数列{}满足-2=0,n∈N﹡,且是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)若=b1+b2+…+,求的值.
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已知公差不为0的等差数列{}满足a1,a3,a4成等比数列,为{}的前n项和,则的值为(   )
A.2B.3C.D.不存在

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各项均为正数的数列{}中,a1=1,是数列{}的前n项和,对任意n∈N﹡,有2=2p+p-p(p∈R).
(1)求常数p的值;
(2)求数列{}的前n项和
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已知函数
(Ⅰ)设函数的图像的顶点的纵坐标构成数列,求证:为等差数列;
(Ⅱ)设函数的图像的顶点到轴的距离构成数列,求的前项和
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