设为数列的前项和,对任意的,都有(为正常数).(1)求证:数列是等比数列;(2)数列满足,,求数列的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项和.

设为数列的前项和,对任意的,都有(为正常数).(1)求证:数列是等比数列;(2)数列满足,,求数列的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项和.

题型:不详难度:来源:
为数列的前项和,对任意的,都有为正常数).
(1)求证:数列是等比数列;
(2)数列满足,求数列的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项和.
答案
(1)详见解析;(2);(3).
解析

试题分析:(1)利用之间的关系,对分两种情况讨论,时,求的值,时,利用得出之间的关系,进而利用定义证明数列为等比数列;
(2)在(1)的条件下求出的值,然后根据数列的递推公式的结构利用倒数法得到数列为等差数列,通过求处等差数列的通项公式求出数列的通项公式;(3)利用(2)中数列的通项公式,并根据数列的通项公式的结构选择错位相减法求数列的前项和.
试题解析:(1)证明:当时,,解得.       1分
时,.即.       2分
为常数,且,∴.         3分
∴数列是首项为1,公比为的等比数列.        4分
(2) 5分 ∵,∴,即. 7分
是首项为,公差为1的等差数列.               8分
,即.           9分
(3)由(2)知,则
所以,                                10分
,       ①  11分
,      ②   12分
②-①得,        13分
.        14分
举一反三
已知数列的前项和,则 (    )
A.B.C.D.

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是各项都为正数的等比数列,是等差数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,求数列的前项和.
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已知各项为正数的等差数列满足,且).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和
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.根据下面一组等式
S1=1
S2=2+3=5
S3=4+5+6=15
S4=7+8+9+10=34
S5=11+12+13+14+15=65
S6=16+17+18+19+20+21=111
S7=22+23+24+25+26+27+28=175
… … … … … … … …
可得           .
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在数列中,对任意成立,令,且是等比数列.
(1)求实数的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求证:.
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