对于无穷数列和函数,若,则称是数列的母函数.(Ⅰ)定义在上的函数满足:对任意,都有,且;又数列满足:. 求证:(1)是数列的母函数;(2)求数列的前项和.(Ⅱ)
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对于无穷数列和函数,若,则称是数列的母函数.(Ⅰ)定义在上的函数满足:对任意,都有,且;又数列满足:. 求证:(1)是数列的母函数;(2)求数列的前项和.(Ⅱ)
题型:不详
难度:
来源:
对于无穷数列
和函数
,若
,则称
是数列
的母函数.
(Ⅰ)定义在
上的函数
满足:对任意
,都有
,且
;又数列
满足:
.
求证:(1)
是数列
的母函数;
(2)求数列
的前项
和
.
(Ⅱ)已知
是数列
的母函数,且
.若数列
的前
项和为
,求证:
.
答案
(Ⅰ)(1) 由题知
,
,
是数列
的母函数
(2)
(Ⅱ)
,
,
从而
是以
为首项,
为公比的等比数列
又
故当
时,有
,化简得结论
解析
试题分析:(Ⅰ)(1)由题知
,且
.
是数列
的母函数;
(2) 由(1) 知:
是首项和公差均为
的等差数列,故
.
①
②
①-②得:
.
.
(Ⅱ)由题知:
,
.
.
从而
是以
为首项,
为公比的等比数列.
.
又
故当
时,有:
.
点评:求解本题首先要正确理解所给信息母函数的实质,将其性质代入相应的函数式中推理;第一问的数列求和用到了错位相减法,这种方法是数列求和题常用到的方法,其适用于通项公式为关于n的一次函数式与指数式的乘积形式的数列
举一反三
已知数列
满足
,且
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前
项和
;
(3)设
,记
,证明:
.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列
中每一项均不为0,若
,则
( )
A.2011
B.2012
C.2013
D.2014
题型:不详
难度:
|
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已知各项均为正数的数列
满足:
。
(1)求
的通项公式
(2)当
时,求证:
题型:不详
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|
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在等差数列{
}中,若m+n=p+q(m、n、p、qÎ
),则下列等式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
中, a
2
=7,且a
n
=a
n+1
-6(n∈
),则前n项和S
n
=" (" )
A.
B. n
2
C.
D.3n
2
–2n
题型:不详
难度:
|
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