已知数列{an}满足S n + a n= 2n +1．(1)写出a1，a2，a3， 并推测a n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足S _n + a _n= 2n +1．
(1)写出a₁，a₂，a₃， 并推测a _n的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．

答案

(1) a₁=， a₂=，a₃= a_n=  (2)用数学归纳法证明

解析

试题分析：(1)由S_n+a_n=2n+1得a₁=， a₂=，a₃=     3分
∴a_n=     6分
(2)证明：当n=1时，命题成立     7分
假设n=k时命题成立，即a_k=      8分
当n=k+1时，a₁+ a ₂+…+ a_k + a_k+1+ a_k+1=2(k+1)+1      9分
∵a₁+ a ₂+…+ a_k =2k+1-a _k
∴2a_k+1=4-      11分
∴a_k+1=2-成立     12分
根据上述知对于任何自然数n，结论成立     13分
点评：运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题