已知数列的相邻两项是关于的方程的两根,且.(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前项和;(Ⅲ)设函数若对任意的都成立,求的取值范围。

已知数列的相邻两项是关于的方程的两根,且.(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前项和;(Ⅲ)设函数若对任意的都成立,求的取值范围。

题型:不详难度:来源:
已知数列的相邻两项是关于的方程的两根,且.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和
(Ⅲ)设函数对任意的都成立,求的取值范围。
答案
(1);(2) ;(3)的取值范围为 。
解析

试题分析:(1),即 
 (3分)
(2)
(6分)
(3) 

∴当n为奇数时
   (9分)
当n为偶数时

综上所述,的取值范围为                     (12分)
点评:中档题,本题具有较强的综合性,本解答通过利用韦达定理,确定得到数列相邻项之间的关系得到了证明目的,根据,进一步转化成数列求和问题,利用“分组求和法”化简,达到解题目的。(3)是恒成立问题,注意转化成了求“最大值”,是问题得解。
举一反三
设等差数列的前n项的和为,且
(1)求的通项公式;
(2)令,求的前项和
(3)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围.
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各项均为正数的等比数列{}的公比q≠1,且a2a3,a1成等差数列,则的值是
A.B.C.D.

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等差数列, an=2n+1,则a3=     (      )
A.5B.7C.6D.8

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数列满足,且,则(  ).
A.29B.28 C.27     D.26

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在2000年至2003年期间,甲每年6月1日都到银行存入元的一年定期储蓄,若年利率为保持不变,且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期,到2004年6月1日甲去银行不再存款,而是将所有存款的本息全部取回,则取回的金额是( )
A.B.
C.D.

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