(本小题满分13分)在数列{an}中,a1=1,an=n2[1+++…+] (n≥2,n∈N)(1)当n≥2时,求证:=(2)求证:(1+)(1+)…(1+)&

(本小题满分13分)在数列{an}中,a1=1,an=n2[1+++…+] (n≥2,n∈N)(1)当n≥2时,求证:=(2)求证:(1+)(1+)…(1+)&

题型:不详难度:来源:
(本小题满分13分)
在数列{an}中,a1=1,an=n2[1+++…+] (n≥2,n∈N)
(1)当n≥2时,求证:=
(2)求证:(1+)(1+)…(1+)<4
答案
(1)利用
得到
(2)当时,

 
验证,当时, ,综上所述,对任意,不等式都成立.
解析

试题分析:(1)当时, ……………………1分
所以…………………4分
 …………………………………………………………5分
(2)当时,……6分
……8分
……10分
 ………………………11分
时, ……………………………………………………………12分
综上所述,对任意,不等式都成立.……………………………………13分
点评:中档题,涉及数列的不等式证明问题,往往需要先求和、再证明。本题(2)利用“裂项相消法”求得“数列的和”,利用放缩法,达到证明目的。易错忽视n=1的验证。
举一反三
已知数列是等差数列,数列是等比数列,则的值为     .
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已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,数列-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则
A.±B.±C.-D.

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公差小于0的等差数列{an}中,且(a3)2=(a9)2,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的n的值是
A.6B.7C.5或6D.6或7

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已知等差数列{an}的前n项和为Sn,如果S3=12,a3+a5=16,那么
A.B.C.D.

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无穷等差数列{an}各项都是正数,Sn是它的前n项和,若a1+a3+a8=a42,则a5·S4的最大值是______________.
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