由函数y=f(x)确定数列{an},an=f(n),函数y=f(x)的反函数y="f" -1(x)能确定数列{bn},bn=" f" –1(n),若对于任意nÎ
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由函数y=f(x)确定数列{an},an=f(n),函数y=f(x)的反函数y="f" -1(x)能确定数列{bn},bn=" f" –1(n),若对于任意nÎ
题型:不详
难度:
来源:
由函数y=f(x)确定数列{a
n
},a
n
=f(n),函数y=f(x)的反函数y="f"
-1
(x)能确定数列{b
n
},b
n
=" f"
–1
(n),若对于任意nÎN
*
,都有b
n
=a
n
,则称数列{b
n
}是数列{a
n
}的“自反数列”.
(1)若函数f(x)=
确定数列{a
n
}的自反数列为{b
n
},求a
n
;
(2)已知正数数列{c
n
}的前n项之和S
n
=
(c
n
+
).写出S
n
表达式,并证明你的结论;
(3)在(1)和(2)的条件下,d
1
=2,当n≥2时,设d
n
=
,D
n
是数列{d
n
}的前n项之和,且D
n
>log
a
(1-2a)恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)a
n
=
(2)S
n
=
,证明略
(3)0<a<
–1
解析
解:(1)由题意的:f
-1
(x)=
= f(x)=
,所以p =-1,…………2分
所以a
n
=
……………………………………………………………………3分翰林汇
(2)因为正数数列{c
n
}的前n项之和S
n
=
(c
n
+
),
所以c
1
=
(c
1
+
),解之得:c
1
=1,S
1
=1……………………………………4分
当n ≥ 2时,c
n
= S
n
–S
n–1
,所以2S
n
= S
n
–S
n–1
+
,……………………5分
S
n
+S
n–1
=
,即:
= n,……………………………………7分
所以,
= n–1,
= n–2,……,
=2,累加得:
=2+3+4+……+ n,………………………………………………9分
=1+2+3+4+……+ n =
,
S
n
=
………………………………………………………………10分
(3)在(1)和(2)的条件下,d
1
=2,
当n≥2时,设d
n
=
=
=2(
),…………………13分
由D
n
是{d
n
}的前n项之和,
D
n
=d
1
+d
2
+……+d
n
=2[1+(
)+(
)+(
)+……+(
)]
=2(2–
)………………………………………………………………………………16分
因为D
n
>log
a
(1–2a)恒成立,即log
a
(1–2a)恒小于D
n
的最小值,
显然D
n
的最小值是在n=1时取得,即(D
n
)
min
=2,
所以log
a
(1–2a)<2,1–2a>0,所以0<a<
–1…………………………………18分
举一反三
已知
是等差数列
的前
项和,且
,
,则
等于( )
A.3
B.5
C.8
D.15
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)
设数列{a
n
}满足
a
1
=1,a
n
=
(1)求a
2
、a
3
、a
4
、a
5
;
(2)归纳猜想数列的通项公式a
n
,并用数学归纳法证明;
(3)设b
n
={a
n
a
n+1
},求数列{b
n
}的前n项和S
n
。
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)
已知各项均为正数的数列{a
n
}满足2a
2
n+1
+3a
n+1
a
n
-2a
2
n
=0(n
)且a
3
+
是a
2
,a
4
的等差中项,数列{b
n
}的前n项和S
n
=n
2
(1)求数列{a
n
}与{b
n
}的通项公式;
(2)若T
n
=
,求证:T
n
<
(3)若c
n
=-
,T
/
n
=c
1
+c
2
+…+c
n
,求使T
/
n
+n
2
n+1
>125成立的正整数n的最小值
题型:不详
难度:
|
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定义运算符号:“
”,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将1×2×3×…×n记作
,
,其中
为数列
中的第
项.
①若
,则
=
; ②若
题型:不详
难度:
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已知数列
的前
项和
和通项
满足
(
是常数且
)。
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ) 当
时,试证明
;
(Ⅲ)设函数
,
,是否存在正整数
,使
对
都成立?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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