(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。 (1)求a1
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(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。 (1)求a1
题型:不详
难度:
来源:
(14分)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
n
是S
n
与2的等差中项,数列{b
n
}中,b
1
=1,点P(b
n
,b
n+
1
)在直线x-y+2=0上。 (1)求a
1
和a
2
的值; (2)求数列{a
n
},{b
n
}的通项a
n
和b
n
; (3)设c
n
=a
n
·b
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
。
答案
(1)
a
1
=2,
a
2
=4(2)
a
n
=2
n
b
n
=2n-1(3)
T
n
=(2
n
-3)2
n
+1
+6
解析
(1)∵
a
n
是
S
n
与2的等差中项∴
S
n
=2
a
n
-2 。。。。1
∴
a
1
=
S
1
=2
a
1
-2,解得
a
1
="2 " 。。。。2
a
1
+
a
2
=
S
2
=2
a
2
-2,解得
a
2
="4 " 。。。 。3
(2)∵
S
n
=2
a
n
-2,
S
n
-1
=2
a
n
-1
-2,
又
S
n
—
S
n
-1
=
a
n
,
。。。。5
∴
a
n
=2
a
n
-2
a
n
-1
, ∵
a
n
≠0,∴
,。。6
即数列{
a
n
}是等比数列∵
a
1
=2,∴
a
n
=2
n
。。。。7
∵点
P
(
b
n
,
b
n
+1
)在直线x-y+2=0上,∴
b
n
-
b
n
+1
+2=0, 。。 。8
∴
b
n
+1
-
b
n
=2,即数列{
b
n
}是等差数列,又
b
1
=1,∴
b
n
=2n-1, 9分 (3)∵
c
n
=(2
n
-1)2
n
∴
T
n
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+····
a
n
b
n
=1×2+3×2
2
+5×2
3
+····+(2
n
-1)2
n
,
∴2
T
n
=1×2
2
+3×2
3
+····+(2
n
-3)2
n
+(2
n
-1)2
n
+1
因此:-
T
n
=1×2+(2×2
2
+2×2
3
+···+2×2
n
)-(2
n
-1)2
n
+1
,
即:-
T
n
=1×2+(2
3
+2
4
+····+2
n
+1
)-(2
n
-1)2
n
+1
,
∴
T
n
=(2
n
-3)2
n
+1
+6 ··14分
举一反三
一片森林原来面积为
,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比
相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年。为保护生态环境,森林面
积至少要保留原来面积的
。已知到今年为止,森林剩余面积为原来的
。
(1)求每年砍伐面积的百分比(用式子表示);
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
题型:不详
难度:
|
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在公差不为零的等差数列
成等比数列,若
是数列
的前
项和,则
( )
A.
B.
C.1
D.2
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
设
的前n项和,对
,都有
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
的前n项和,求证:
题型:不详
难度:
|
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已知
是一个等差数列,且
,
。
(1)求
的通项
;
(2)求
的前
项和
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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等差数列
,0,
……的第15项为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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