解:(1)证明: 由,得an+1=2n—an, ∴, ∴数列是首项为,公比为的等比数列.………………3分 ∴ , 即, ∴…………………………………………………………………………5分 (2)解:假设在数列{bn}中,存在连续三项bk-1,bk,bk+1(k∈N*, k≥2)成等差数列,则bk-1+bk+1=2bk,即, 即=4………………………………………………………………7分 若k为偶数,则>0,4=-4<0,所以,不存在偶数k,使得 bk-1,bk,bk+1成等差数列。…………………………………………………………8分 若k为奇数,则k≥3,∴≥4,而4=4,所以,当且仅当k=3时, bk-1,bk,bk+1成等差数列。 综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项b2,b3,b4成等差数列。…………10分 (3)要使b1,br,bs成等差数列,只需b1+bs=2 br, 即3+=2[],即, ① (ⅰ)若s=r+1,在①式中,左端=0,右端=,要使①式成立,当且仅当s为偶数时成立。又s>r>1,且s,r为正整数,所以,当s为不小于4的正偶数,且s=r+1时,b1,br,bs成等差数列。……………………………………………………………13分 (ⅱ)若s≥r+2时,在①式中,左端≥=>0,右端≤0,∴当s≥r+2时,b1,br,bs不成等差数列。 综上所述,存在不小于4的正偶数s,且s=r+1,使得b1,br,bs成等差数列。…15分 |