设函数与数列满足关系：(1)  a1.>a, 其中a是方程的实根，(2) an+1= (nN+ )  ,如果的导数满足0<<1 （1）证明：

题型：不详难度：来源：

设函数与数列满足关系：(1)  a_1.>a, 其中a是方程的实根，(2) a_n+1= (nN⁺ )  ,如果的导数满足0<<1
（1）证明： a_n>a （2）试判断a_n与a_n+1的大小，并证明结论。 

答案

对任意正整数n都有a _n> a _n+1 .

解析

证明：(1)当n=1时，由题设知a ₁> a成立。
假设n=k时,  a _k> a成立   (k)，
由>0知增函数，则，
又由已知: =a，
于是a _k+1> a，即对n=k+1时也成立，
故 对任意正整数n,  a _n> a都成立。
解：(2)令则
     故为增函数
则 当x> a时,有
而
 即
由(1)知a _n> a         ()
故 对任意正整数n都有a _n> a _n+1 .