已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x2-tx-2．（I）求函数f（x）的
题型：解答题难度：一般来源：烟台一模
已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x2-tx-2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围． |
答案
（I）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x-y=0平行，
得该切线斜率为2，即f"（e）=2．
又∵f"（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．
（II）由（I）知f"（x）=lnx+1，
显然f"（x）=0时x=e-1当x∈(0，)时f"（x）＜0，
所以函数f(x)在(0，)上单调递减．
当x∈(，+∞)时f"（x）＞0，
所以函数f（x）在(，+∞)上单调递增，
①∈[n，n+2]时，f(x)min=f()=-；
②≤n＜n+2时，函数f（x）在[n，n+2]上单调递增，
因此f（x）min=f（n）=nlnn；
所以f(x)min=；
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
又g（x）=x2-tx-2，
∴3xlnx≥x2-tx-2，
即t≥x-3lnx-．
设h(x)=x-3lnx-，x∈(0，e]，
则h′(x)=1-+==，
由h"（x）=0得x=1或x=2，
∴x∈（0，1），h"（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（1，2），h"（x）＞0，h（x）单调递减，
x∈（2，e），h"（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）极大值=h（1）=-1，且h（e）=e-3-2e-1＜-1，
所以h（x）max=h（1）=-1．
因为对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
∴t≥h（x）max=-1．
故实数t的取值范围为[-1，+∞）． |
举一反三
| 已知函数f（x）是R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2时，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，则f（-2），f（0），f（3）的大小关系是______． |
| 已知定义在R上连续的奇函数f（x）在（0，+∞）上的是增函数，若f（x）＞f（2-x），则x的范围是（ ） |
| （文科做）函数①y=2（x-1）2-1，②y=x2-3|x|+4，③y=，④y=中即非奇函数也非偶函数的是（ ） |
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由． |
| 已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+m）f（x）．若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，则实数m的取值范围为______． |
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