已知数列和满足，，数列的前和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：；（3）求证：对任意的有成立．

题型：不详难度：来源：

已知数列和满足，，数列的前和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：；
（3）求证：对任意的有成立．

答案

解析

解：（1）由得代入得
整理得，-----------------------------------------------------1分
∵否则，与矛盾
从而得,  ----------------------------------------------------------3分
∵
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列
∴，即．---------------------------------------------------------------4分
（2）∵
∴＝
＝---------------------------------------------------------6分
证法1：∵
＝＝
∴．--------------------------------------------------------------------------8分
证法2：∵   ∴
∴
∴．----------------------------------------------------------------------------8分
（3）用数学归纳法证明：
①当时，不等式成立；-----------9分
②假设当（，）时，不等式成立，即
，那么当时

----------------------------------------------------------------------12分

＝
∴当时，不等式成立
综①②知对任意的,不等式成立．--------------------------------------------------------