设数列的前项和为,且满足,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)若正项数列满足,求证: .

题型：不详难度：来源：

设数列

的前

项和为

,且满足

.
(Ⅰ)求

的值;
(Ⅱ)求数列

的通项公式;
(Ⅲ)若正项数列

满足

,
求证:

答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)见解析

解析

(Ⅰ)

………………………………………………3分
(Ⅱ)

………………………①
当

时,

代入①式得

………②……………5分
由 (Ⅰ) 知

猜想

……………………………………………………………………………6分
下面用数学归纳法证明猜想
(

)

已证明;
(

)假设

则

时,

成立
综合

猜想成立.
∴当

时,

,当

时也满足,故

………………………………………………………………………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)

,则

……………………………………………………13分

举一反三

在数列

中，a₁=1，前

项和为

，

且

成等差数列。
（1）求

的值；（2）求数列

的通项公式。

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(本小题满分13分)
已知函数

（1）求

；
（2）已知数列

满足

,求数列

的通项公式；
（3）求证:

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设函数

，数列

的通项

满足

．
（1）求数列

的通项公式；（2）判定数列{a_n}的单调性.

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（本小题满分14分）
已知曲线

．从点

向曲线

引斜率为

的切线

，切点为

。
（1）求数列

的通项公式；
（2）证明：

。

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某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种.甲方案是：公司在每年年末给每位员工增资1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元.某员工分别依两种方案计算增资总额后得到下表：

工作年限	方案甲	方案乙	最终选择
1	1000	600	方案甲
2	2000	1200	方案乙
≥3			方案甲

(说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资为准. ②假定员工工作年限均为整数.)
（1）他这样计算增资总额，结果对吗？如果让你选择，你会怎样选择增资方案？说明你的理由；
（2）若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为a元，问：a为何值时，方案乙总比方案甲多增资？

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