已知数列{an}中a1=2,an+1=(-1)( an+2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{an}中b1=2,bn+1=,n=1
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已知数列{an}中a1=2,an+1=(-1)( an+2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{an}中b1=2,bn+1=,n=1,2,3,….证明:<bn≤a4n-3,n=1,2,3,… |
答案
(Ⅰ) an=[(-1)n+1] (Ⅱ)见解析 |
解析
(Ⅰ)由题设:an+1=(-1)(an+2)=(-1)(an-)+(-1)(2+), =(-1)(an-)+,∴an+1-=(-1)(an-). 所以,数列{an-}a是首项为2-,公比为-1)的等比数列,an-=(-1)n, 即an的通项公式为an=[(-1)n+1],n=1,2,3,…. (Ⅱ)用数学归纳法证明. (ⅰ)当n=1时,因<2,b1=a1=2,所以<b1≤a1,结论成立. (ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即<bk≤a4k-3,,也即0<bn-≤a4k-3-, 当n=k+1时,bk+1-=-==>0, 又<=3-2,所以bk+1-=<(3-2)2(bk-)≤(-1)4(a4k-3-)=a4k+1-也就是说,当n=k+1时,结论成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)知<bn≤a4n-3,n=1,2,3,…. |
举一反三
设是等差数列,从中任取3个不同的数,使这3个数仍成等差数列,则这样不同的等差数列的个数最多有( ) |
数列中,,若对任意的正整数,都成立,则的取值范围为 。 |
设等差数列的前项和为,已知,,则()A.-2008 | B.2008 | C.-2010 | D.2010 |
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设等差数列的前项和为,已知,,则 等差数列的公差d= ; . |
已知等差数列和正项等比数列,a7是b3和b7的等比中项. (1)求数列的通项公式; (2)若,求数列{}的前n项和Tn. |
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