设数列的前项和为,已知,且,其中为常数.(Ⅰ)求与的值;(Ⅱ)证明:数列为等差数列;(Ⅲ)证明:不等式对任何正整数都成立.
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设数列的前项和为,已知,且,其中为常数.(Ⅰ)求与的值;(Ⅱ)证明:数列为等差数列;(Ⅲ)证明:不等式对任何正整数都成立.
题型:不详
难度:
来源:
设数列
的前
项和为
,已知
,且
,
其中
为常数.
(Ⅰ)求
与
的值;
(Ⅱ)证明:数列
为等差数列;
(Ⅲ)证明:不等式
对任何正整数
都成立.
答案
,
.
解析
解:(Ⅰ)由已知,得
,
,
.
由
,知
即
解得
,
.
(Ⅱ)方法1
由(Ⅰ),得
, ①
所以
. ②
②-①,得
, ③
所以
. ④
④-③,得
.
因为
,
所以
.
又因为
,
所以
,
即
,
.
所以数列
为等差数列.
方法2
由已知,得
,
又
,且
,
所以数列
是唯一确定的,因而数列
是唯一确定的.
设
,则数列
为等差数列,前
项和
.
于是
,
由唯一性得
,即数列
为等差数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,
.
要证
,
只要证
.
因为
,
,
故只要证
,
即只要证
.
因为
,
所以命题得证.
举一反三
已知等差数列
的首项为
a
,公差为
b
;等比数列
的首项为
b
,公比为
a
,其中
a
,
,且
.
(1)求
a
的值;
(2)若对于任意
,总存在
,使
,求
b
的值;
(3)在(2)中,记
是所有
中满足
,
的项从小到大依次组成的数列,又记
为
的前
n
项和,
的前
n
项和,求证:
≥
题型:不详
难度:
|
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设数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
=
na
+
n
(
n
-1)
b
,(
n
=1,2,…),
a
、
b
是常数且
b
≠0.
(1)证明:{
a
n
}是等差数列.
(2)证明:以(
a
n
,
-1)为坐标的点
P
n
(
n
=1,2,…)都落在同一条直线上,并写出此直线的方程.
(3)设
a
=1,
b
=
,
C
是以(
r
,
r
)为圆心,
r
为半径的圆(
r
>0),求使得点
P
1
、
P
2
、
P
3
都落在圆
C
外时,
r
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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数列
满足:
(I)求证:
(Ⅱ)令
(1)求证:
是递减数列;(2)设
的前
项和为
求证:
题型:不详
难度:
|
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已知数列
的通项公式是
,数列
是等差数列,令集合
,
,
.将集合
中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为
.
(1)若
,
,求数列
的通项公式;
(2)若
,数列
的前5项成等比数列,且
,
,求满足
的正整数
的个数.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
前项
和为
,且
A. 10
B. 100
C. 2009
D.2010.
题型:不详
难度:
|
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