数列{an}满足a1=2,对于任意的n∈N*都有an>0,且(n+1)an2+an·an+1-nan+12=0,又知数列{bn}的通项为bn=2n-1+1.
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数列{an}满足a1=2,对于任意的n∈N*都有an>0,且(n+1)an2+an·an+1-nan+12=0,又知数列{bn}的通项为bn=2n-1+1. (1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn; (2)求数列{bn}的前n项和Tn; (3)猜想Sn与Tn的大小关系,并说明理由. |
答案
(1) Sn=n2+n,(2) Tn=2n+n-1 (3)猜想当n≥5时,Tn>Sn,即2n>n2+1 |
解析
(1)可解得 ,从而an=2n,有Sn=n2+n, (2)Tn=2n+n-1. (3)Tn-Sn=2n-n2-1,验证可知,n=1时,T1=S1,n=2时T2<S2;n=3时,T3<S3;n=4时,T4<S4;n=5时,T5>S5;n=6时T6>S6 猜想当n≥5时,Tn>Sn,即2n>n2+1 可用数学归纳法证明(略). |
举一反三
数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an,(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn; (3)设bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*均有Tn> 成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. |
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+ )(其中a>0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与 logabn+1的大小,并证明你的结论. |
设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4…). (1)求证: 数列{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f( )(n=2,3,4…),求数列{bn}的通项bn; (3)求和: b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1. |
(本题满分12分)设数列 的前 和为 ,已知 , , , , 一般地, ( ). (Ⅰ)求 ;(Ⅱ)求 ;(Ⅲ)求和: . |
(本题满分12分)已知函数 .(Ⅰ) 求f –1(x);(Ⅱ) 若数列{an}的首项为a1=1, (nÎN+),求{an}的通项公式an;(Ⅲ) 设bn=an+12+an+22+¼+a2n+12,是否存在最小的正整数k,使对于任意nÎN+有bn< 成立.若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. |
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