已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a
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已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{
b
n
}是等差数列,
b
1
=1,
b
1
+
b
2
+…+
b
10
=145.
(1)求数列{
b
n
}的通项
b
n
;
(2)设数列{
a
n
}的通项
a
n
=log
a
(1+
)(其中
a
>0且
a
≠1),记
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和,试比较
S
n
与
log
a
b
n
+1
的大小,并证明你的结论.
答案
(1)
b
n
=3
n
-2 (2) 当
a
>1时,
S
n
>
log
a
b
n
+1
;当0<
a
<1时,
S
n
<
log
a
b
n
+1
解析
(1)设数列{
b
n
}的公差为
d
,由题意得
解得
b
1
=1,
d
=3,∴
b
n
=3
n
-2.
(2)由
b
n
=3
n
-2,知
S
n
=log
a
(1+1)+log
a
(1+
)+…+log
a
(1+
)
=log
a
[(1+1)(1+
)…(1+
)],
log
a
b
n
+1
=log
a
.
因此要比较
S
n
与
log
a
b
n
+1
的大小,
可先比较(1+1)(1+
)…(1+
)与
的大小,
取
n
=1时,有(1+1)>
取
n
=2时,有(1+1)(1+
)>
…
由此推测(1+1)(1+
)…(1+
)>
①
若①式成立,则由对数函数性质可判定:
当
a
>1时,
S
n
>
log
a
b
n
+1
, ②
当0<
a
<1时,
S
n
<
log
a
b
n
+1, ③
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当
n
=1时,已验证①式成立.
(ⅱ)假设当
n
=
k
时(
k
≥1),①式成立,即:
那么当
n
=
k
+1时,
这就是说①式当
n
=
k
+1时也成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可知①式对任何正整数
n
都成立.
由此证得:当
a
>1时,
S
n
>
log
a
b
n
+1
;当0<
a
<1时,
S
n
<
log
a
b
n
+1
举一反三
设数列{
a
n
}的首项
a
1
=1,前
n
项和
S
n
满足关系式:3
tS
n
-(2
t
+3)
S
n
-
1
=3
t
(
t
>0,
n
=2,3,4…).
(1)求证: 数列{
a
n
}是等比数列;
(2)设数列{
a
n
}的公比为
f
(
t
),作数列{
b
n
},使
b
1
=1,
b
n
=
f
(
)(
n
=2,3,4…),求数列{
b
n
}的通项
b
n
;
(3)求和:
b
1
b
2
-
b
2
b
3
+
b
3
b
4
-…+
b
2
n
-
1
b
2
n
-
b
2
n
b
2
n
+1
.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)设数列
的前
和为
,已知
,
,
,
,
一般地,
(
).
(Ⅰ)求
;(Ⅱ)求
;(Ⅲ)求和:
.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)已知函数
.(Ⅰ) 求
f
–1
(
x
);(Ⅱ) 若数列{
a
n
}的首项为
a
1
=1,
(
n
Î
N
+
),求{
a
n
}的通项公式
a
n
;(Ⅲ) 设
b
n
=
a
n
+1
2
+
a
n
+2
2
+¼+
a
2
n
+1
2
,是否存在最小的正整数
k
,使对于任意
n
Î
N
+
有
b
n
<
成立.若存在,求出
k
的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=
(
x
<-2).
(1)求
f
(
x
)的反函数
f
-
-
1
(
x
);
(2)设
a
1
=1,
=-
f
-
-1
(
a
n
)(
n
∈N
*
),求
a
n
;
(3)设
S
n
=
a
1
2
+
a
2
2
+…+
a
n
2
,
b
n
=
S
n
+1
-
S
n
是否存在最小正整数
m
,使得对任意
n
∈N
*
,有
b
n
<
成立?若存在,求出
m
的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设等比数列{
a
n
}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lg
a
n
}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
题型:不详
难度:
|
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