设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大
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设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4) |
答案
{lgan}的前5项和最大 |
解析
解法一: 设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有
化简得. 设数列{lgan}前n项和为Sn,则 Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1n·q1+2+…+(n-1) =nlga1+n(n-1)·lgq=n(2lg2+lg3)-n(n-1)lg3 =(-)·n2+(2lg2+lg3)·n 可见,当n=时,Sn最大. 而=5,故{lgan}的前5项和最大. 解法二: 接前,,于是lgan=lg[108()n-1]=lg108+(n-1)lg, ∴数列{lgan}是以lg108为首项,以lg为公差的等差数列, 令lgan≥0,得2lg2-(n-4)lg3≥0, ∴n≤=5.5. 由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大. |
举一反三
等差数列{an}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为_________. |
设An为数列{an}的前n项和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3; (1)求数列{an}的通项公式; (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{dn}的通项公式为dn=32n+1; (3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项,Br为数列{bn}的前r项的和;Dn为数列{dn}的前n项和,Tn=Br-Dn,求 |
设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. (1)写出数列{an}的前3项. (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程). (3)令bn=(n∈N*),求 (b1+b2+b3+…+bn-n). |
已知函数,数列满足: . (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求数列的通项公式; (Ⅲ)求证不等式: |
已知Sn=1++…+,(n∈N*),设f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式: f(n)>[logm(m-1)]2-[log(m-1)m]2恒成立. |
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