已知函数，数列满足：．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求证不等式：

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已知函数，数列满足：．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求证不等式：

题型：不详难度：来源：

已知函数，数列满足：
．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求证不等式：
答案
如下
解析
（Ⅰ）

当时，，即是单调递增函数；
当时，，即是单调递减函数；
所以，即是极大值点，也是最大值点
，当时取到等号．          5分
（Ⅱ）由得

方法1 


即数列是等差数列，首项为，公差为
∴                                              
方法2利用函数不动点
方法3利用观察、归纳、猜想、数学归纳法证明
（Ⅲ）

又∵时，有
令，则
∴

∴                                     
举一反三
已知Sn=1++…+,(n∈N*)，设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式: 
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.
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已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式；
(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；
(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.
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设数列的前项和为，已知，且
，
其中为常数.
(Ⅰ)求与的值；
(Ⅱ)证明：数列为等差数列；
(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.
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已知等差数列的首项为a，公差为b；等比数列的首项为b，公比为a，其中a，，且．
　　（1）求a的值；
　　（2）若对于任意，总存在，使，求b的值；
　　（3）在（2）中，记是所有中满足， 的项从小到大依次组成的数列，又记为的前n项和，的前n项和，求证：≥
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设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0.
(1)证明:{an}是等差数列.
(2)证明:以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.
(3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围.
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