已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值- (t>0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+b
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已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值- (t>0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+b
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
处取得最小值-
(
t
>0),
f
(1)=0.
(1)求
y
=
f
(
x
)的表达式;
(2)若任意实数
x
都满足等式
f
(
x
)·
g
(
x
)+
a
n
x
+
b
n
=
x
n
+1
[
g
(
x
)]为多项式,
n
∈N
*
),试用
t
表示
a
n
和
b
n
;
(3)设圆
C
n
的方程为(
x
-
a
n
)
2
+(
y
-
b
n
)
2
=
r
n
2
,圆
C
n
与
C
n
+1
外切(
n
=1,2,3,…);{
r
n
}是各项都是正数的等比数列,记
S
n
为前
n
个圆的面积之和,求
r
n
、
S
n
.
答案
(1)
f
(
x
)=
x
2
-(
t
+2)
x
+
t
+1, (2)
a
n
=
[(
t
+1)
n
+1
-1],
b
n
=
[1-(
t
+1
n
), (3)
r
n
=
,
S
n
=
π
(
r
1
2
+
r
2
2
+…+
r
n
2
)=
[(
t
+1)
2n
-1]
解析
(1)设
f
(
x
)=
a
(
x
-
)
2
-
,由
f
(1)=0得
a
=1.
∴
f
(
x
)=
x
2
-(
t
+2)
x
+
t
+1.
(2)将
f
(
x
)=(
x
-1)[
x
-(
t
+1)]代入已知得:
(
x
-1)[
x
-(
t
+1)]
g
(
x
)+
a
n
x
+
b
n
=
x
n
+1
,
上式对任意的
x
∈R都成立,
取
x
=1和
x
=
t
+1分别代入上式得
且
t
≠0,
解得
a
n
=
[(
t
+1)
n
+1
-1],
b
n
=
[1-(
t
+1
n
)
(3)由于圆的方程为(
x
-
a
n
)
2
+(
y
-
b
n
)
2
=
r
n
2
,
又由(2)知
a
n
+
b
n
=1,故圆
C
n
的圆心
O
n
在直线
x
+
y
=1上,
又圆
C
n
与圆
C
n
+1
相切,故有
r
n
+
r
n
+1
=
|
a
n
+1
-
a
n
|=
(
t
+1)
n
+1
设{
r
n
}的公比为
q
,则
②÷①得
q
=
=
t
+1,代入①得
r
n
=
∴
S
n
=
π
(
r
1
2
+
r
2
2
+…+
r
n
2
)=
[(
t
+1)
2n
-1].
举一反三
设数列
的前
项和为
,已知
,且
,
其中
为常数.
(Ⅰ)求
与
的值;
(Ⅱ)证明:数列
为等差数列;
(Ⅲ)证明:不等式
对任何正整数
都成立.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知等差数列
的首项为
a
,公差为
b
;等比数列
的首项为
b
,公比为
a
,其中
a
,
,且
.
(1)求
a
的值;
(2)若对于任意
,总存在
,使
,求
b
的值;
(3)在(2)中,记
是所有
中满足
,
的项从小到大依次组成的数列,又记
为
的前
n
项和,
的前
n
项和,求证:
≥
题型:不详
难度:
|
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设数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
=
na
+
n
(
n
-1)
b
,(
n
=1,2,…),
a
、
b
是常数且
b
≠0.
(1)证明:{
a
n
}是等差数列.
(2)证明:以(
a
n
,
-1)为坐标的点
P
n
(
n
=1,2,…)都落在同一条直线上,并写出此直线的方程.
(3)设
a
=1,
b
=
,
C
是以(
r
,
r
)为圆心,
r
为半径的圆(
r
>0),求使得点
P
1
、
P
2
、
P
3
都落在圆
C
外时,
r
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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数列
满足:
(I)求证:
(Ⅱ)令
(1)求证:
是递减数列;(2)设
的前
项和为
求证:
题型:不详
难度:
|
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已知数列
的通项公式是
,数列
是等差数列,令集合
,
,
.将集合
中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为
.
(1)若
,
,求数列
的通项公式;
(2)若
,数列
的前5项成等比数列,且
,
,求满足
的正整数
的个数.
题型:不详
难度:
|
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