设An为数列{an}的前n项和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式;(2)把数列{an}与{bn}的公
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设An为数列{an}的前n项和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式;(2)把数列{an}与{bn}的公
题型:不详
难度:
来源:
设
A
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和,
A
n
=
(
a
n
-1),数列{
b
n
}的通项公式为
b
n
=4
n
+3;
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)把数列{
a
n
}与{
b
n
}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{
d
n
}的通项公式为
d
n
=3
2
n
+1
;
(3)设数列{
d
n
}的第
n
项是数列{
b
n
}中的第
r
项,
B
r
为数列{
b
n
}的前
r
项的和;
D
n
为数列{
d
n
}的前
n
项和,
T
n
=
B
r
-
D
n
,求
答案
(1)
a
n
=3
n
(2)证明略(3)
解析
(1)由
A
n
=
(
a
n
-1),可知
A
n
+1
=
(
a
n
+1
-1),
∴
a
n
+1
-
a
n
=
(
a
n
+1
-
a
n
),即
=3,而
a
1
=
A
1
=
(
a
1
-1),得
a
1
=3,所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列,数列{
a
n
}的通项公式
a
n
=3
n
.
(2)∵3
2
n
+1
=3·3
2
n
=3·(4-1)
2
n
=3·[4
2n
+C
·4
2n
-
1
(-1)+…+C
·4·(-1)+(-1)
2n
]=4
n
+3,
∴3
2n
+1∈{
b
n
}.
而数3
2n
=(4-1)
2n
=4
2n
+C
·4
2n
-
1
·(-1)+…+C
·4·(-1)+(-1)
2n
=(4
k
+1),
∴3
2n
{
b
n
},而数列{
a
n
}={
a
2
n
+1
}∪{
a
2
n
},∴
d
n
=3
2n
+1
.
(3)由3
2n
+1
=4·
r
+3,可知
r
=
,
∴
B
r
=
,
举一反三
设{
a
n
}是正数组成的数列,其前
n
项和为
S
n
,并且对于所有的自然数
n
,
a
n
与2的等差中项等于
S
n
与2的等比中项.
(1)写出数列{
a
n
}的前3项.
(2)求数列{
a
n
}的通项公式(写出推证过程).
(3)令
b
n
=
(
n
∈N
*
),求
(
b
1
+
b
2
+
b
3
+…+
b
n
-
n
).
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,数列
满足:
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求数列
的通项公式;
(Ⅲ)求证不等式:
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
S
n
=1+
+…+
,(
n
∈N
*
),设
f
(
n
)=
S
2
n
+1
-
S
n
+1
,试确定实数
m
的取值范围,使得对于一切大于1的自然数
n
,不等式:
f
(
n
)>[log
m
(
m
-1)]
2
-
[log
(
m
-
1)
m
]
2
恒成立.
题型:不详
难度:
|
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已知二次函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
处取得最小值-
(
t
>0),
f
(1)=0.
(1)求
y
=
f
(
x
)的表达式;
(2)若任意实数
x
都满足等式
f
(
x
)·
g
(
x
)+
a
n
x
+
b
n
=
x
n
+1
[
g
(
x
)]为多项式,
n
∈N
*
),试用
t
表示
a
n
和
b
n
;
(3)设圆
C
n
的方程为(
x
-
a
n
)
2
+(
y
-
b
n
)
2
=
r
n
2
,圆
C
n
与
C
n
+1
外切(
n
=1,2,3,…);{
r
n
}是各项都是正数的等比数列,记
S
n
为前
n
个圆的面积之和,求
r
n
、
S
n
.
题型:不详
难度:
|
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设数列
的前
项和为
,已知
,且
,
其中
为常数.
(Ⅰ)求
与
的值;
(Ⅱ)证明:数列
为等差数列;
(Ⅲ)证明:不等式
对任何正整数
都成立.
题型:不详
难度:
|
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