已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.

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已知数列{a_n}的前n项S_n=pⁿ+q(p≠0,p≠1),求数列{a_n}是等比数列的充要条件.

答案

证明略

解析

a₁=S₁=p+q
当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=p^n－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴=p
若{a_n}为等比数列，则=p
∴=p,
∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1
这是{a_n}为等比数列的必要条件.
下面证明q=－1是{a_n}为等比数列的充分条件
当q=－1时，∴S_n=pⁿ－1(p≠0,p≠1)，a₁=S₁=p－1
当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=pⁿ－p^n－1=p^n－1(p－1)
∴a_n=(p－1)p^n－1  (p≠0,p≠1)
=p为常数
∴q=－1时，数列{a_n}为等比数列即数列{a_n}是等比数列的充要条件为q=－1.