{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*)(1)求证:当k取不同自然数时，此方程有公共根；(2 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N)(1)求证:当k取不同自然数时，此方程有公共根；(2

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{a_n}为等差数列，公差d≠0,a_n≠0,(n∈N^*),且a_kx²+2a_k₊₁x+a_k₊₂=0(k∈N^*)
(1)求证:当k取不同自然数时，此方程有公共根；
(2)若方程不同的根依次为x₁,x₂,…,x_n,…,
求证:数列

为等差数列.

答案

证明同解析

解析

(1）∵{a_n}是等差数列，∴2a_k₊₁=a_k+a_k₊₂,
故方程a_kx²+2a_k₊₁x+a_k₊₂=0可变为(a_kx+a_k₊₂)(x+1)=0,
∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1

(2）原方程不同的根为x_k=

举一反三

数列{a_n}满足a₁=2，对于任意的n∈N^*都有a_n＞0,且(n+1)a_n²+a_n·a_n₊₁－na_n₊₁²=0，又知数列{b_n}的通项为b_n=2ⁿ^－¹+1.
(1)求数列{a_n}的通项a_n及它的前n项和S_n；
(2)求数列{b_n}的前n项和T_n；
(3)猜想S_n与T_n的大小关系，并说明理由.

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