已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a,a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列{bn}的

已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a,a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列{bn}的

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0,由{a_n}中的部分项组成的数列
a,a,…,a

,…为等比数列，其中b₁=1,b₂=5,b₃=17.
(1)求数列{b_n}的通项公式；
(2)记T_n=C

b₁+C

b₂+C

b₃+…+C

b_n,求

.

答案

(1) b_n=2·3ⁿ^－¹－1 (2)

解析

(1)由题意知a₅²=a₁·a₁₇，即(a₁+4d)²=a₁(a₁+16d)

a₁d=2d²,
∵d≠0,∴a₁=2d,数列{

}的公比q=

=3,
∴

=a₁·3ⁿ^－¹ ①
又

=a₁+(b_n－1)d=

②
由①②得a₁·3ⁿ^－¹=

·a₁.∵a₁=2d≠0,∴b_n=2·3ⁿ^－¹－1.
(2)T_n=C

b₁+C

b₂+…+C

b_n
=C

(2·3⁰－1)+C

·(2·3¹－1)+…+C

(2·3ⁿ^－¹－1)
=

(C

+C

·3²+…+C

·3ⁿ)－(C

+C

+…+C

)
=

［(1+3)ⁿ－1］－(2ⁿ－1)=

·4ⁿ－2ⁿ+

,

举一反三

设{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，a₁=b₁=1,a₂+a₄=b₃,b₂·b₄=a₃,分别求出{a_n}及{b_n}的前n项和S₁₀及T₁₀.

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{a_n}为等差数列，公差d≠0,a_n≠0,(n∈N^*),且a_kx²+2a_k₊₁x+a_k₊₂=0(k∈N^*)
(1)求证:当k取不同自然数时，此方程有公共根；
(2)若方程不同的根依次为x₁,x₂,…,x_n,…,
求证:数列

为等差数列.

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数列{a_n}满足a₁=2，对于任意的n∈N^*都有a_n＞0,且(n+1)a_n²+a_n·a_n₊₁－na_n₊₁²=0，又知数列{b_n}的通项为b_n=2ⁿ^－¹+1.
(1)求数列{a_n}的通项a_n及它的前n项和S_n；
(2)求数列{b_n}的前n项和T_n；
(3)猜想S_n与T_n的大小关系，并说明理由.

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数列{a_n}中，a₁=8,a₄=2且满足a_n₊₂=2a_n₊₁－a_n,(n∈N^*).
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设S_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a_n｜,求S_n;
(3)设b_n=

(n∈N^*),T_n=b₁+b₂+……+b_n(n∈N^*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*均有T_n＞

成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.
(1)求数列{b_n}的通项b_n；
(2)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+

)(其中a＞0且a≠1),记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与

log_ab_n₊₁的大小，并证明你的结论.

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