已知点的序列An(xn,0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中
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已知点的序列An(xn,0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中
题型:不详
难度:
来源:
已知点的序列
A
n
(
x
n
,0),
n
∈N,其中
x
1
=0,
x
2
=
a
(
a
>0),
A
3
是线段
A
1
A
2
的中点,
A
4
是线段
A
2
A
3
的中点,…,
A
n
是线段
A
n
-
2
A
n
-
1
的中点,….
(1)写出
x
n
与
x
n
-
1
、
x
n
-
2
之间关系式(
n
≥3);
(2)设
a
n
=
x
n
+1
-
x
n
,计算
a
1
,
a
2
,
a
3
,由此推测数列{
a
n
}的通项公式,并加以证明;
(3)求
x
n
答案
(1)
x
n
=
; (2)
a
n
=(-
)
n
-1
a
(
n
∈N) ,(3)
a
解析
(1)当
n
≥3时,
x
n
=
;
由此推测
a
n
=(-
)
n
-1
a
(
n
∈N)
证法一:因为
a
1
=
a
>0,且
(
n
≥2)
所以
a
n
=(-
)
n
-1
a
证法二: 用数学归纳法证明:
(ⅰ)当
n
=1时,
a
1
=
x
2
-
x
1
=
a
=(-
)
0
a
,公式成立;
(ⅱ)假设当
n
=
k
时,公式成立,即
a
k
=(-
)
k
-
1
a
成立.
那么当
n
=
k
+1时,
a
k
+1
=
x
k
+2
-
x
k
+1
=
据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意
n
∈N,公式
a
n
=(-
)
n
-1
a
成立.
(3)当
n
≥3时,有
x
n
=(
x
n
-
x
n
-
1
)+(
x
n
-
1
-
x
n
-
2
)+…+(
x
2
-
x
1
)+
x
1
=
a
n
-
1
+
a
n
-
2
+…+
a
1
,
由(2)知{
a
n
}是公比为-
的等比数列,所以
a
.
举一反三
已知数列{
a
n
}的前
n
项
S
n
=
p
n
+
q
(
p
≠0,
p
≠1),求数列{
a
n
}是等比数列的充要条件.
题型:不详
难度:
|
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已知
a
、
b
、
c
成等比数列,如果
a
、
x
、
b
和
b
、
y
、
c
都成等差数列,则
=_________
题型:不详
难度:
|
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已知数列{
a
n
}为等差数列,公差
d
≠0,由{
a
n
}中的部分项组成的数列
a
,
a
,…,
a
,…为等比数列,其中
b
1
=1,
b
2
=5,
b
3
=17.
(1)求数列{
b
n
}的通项公式;
(2)记
T
n
=C
b
1
+C
b
2
+C
b
3
+…+C
b
n
,求
.
题型:不详
难度:
|
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设{
a
n
}为等差数列,{
b
n
}为等比数列,
a
1
=
b
1
=1,
a
2
+
a
4
=
b
3
,
b
2
·
b
4
=
a
3
,分别求出{
a
n
}及{
b
n
}的前
n
项和
S
10
及
T
10
.
题型:不详
难度:
|
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{
a
n
}为等差数列,公差
d
≠0,
a
n
≠0,(
n
∈N
*
),且
a
k
x
2
+2
a
k
+1
x
+
a
k
+2
=0(
k
∈N
*
)
(1)求证:当
k
取不同自然数时,此方程有公共根;
(2)若方程不同的根依次为
x
1
,
x
2
,…,
x
n
,…,
求证:数列
为等差数列.
题型:不详
难度:
|
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