设,.证明:当且仅当时,存在数列满足以下条件:(ⅰ),;(ⅱ)存在;(ⅲ),.
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设,.证明:当且仅当时,存在数列满足以下条件:(ⅰ),;(ⅱ)存在;(ⅲ),.
题型:不详
难度:
来源:
设
,
.证明:当且仅当
时,存在数列
满足以下条件:
(ⅰ)
,
;
(ⅱ)
存在;
(ⅲ)
,
.
答案
[证] 必要性:假设存在
满足(ⅰ),(ⅱ),(iii).注意到(ⅲ)中式子可化为
,
,
其中
.
将上式从第1项加到第
项,并注意到
得
.
由(ⅱ)可设
,将上式取极限得
,
因此
.
充分性:假设
.定义多项式函数如下:
,
,
则
在[0,1]上是递增函数,且
,
.
因此方程
在[0,1]内有唯一的根
,且
,即
.
下取数列
为
,
,则明显地
满足题设条件(ⅰ),且
.
因
,故
,因此
,即
的极限存在,满足(ⅱ).
最后验证
满足(ⅲ),因
,即
,从而
.
综上,已证得存在数列
满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ).
解析
解析见答案
举一反三
(本题满分14分)
已知
为
三点所在直线外一点,且
.数列
,
满足
,
,且
(
).(Ⅰ) 求
;(Ⅱ) 令
,求数列
的通项公式;(III) 当
时,求数列
的通项公式.
题型:不详
难度:
|
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等比数列
的前n项和为S
n
,已知S
1
,2S
2
,3S
3
成等差数列,则
的公比为
。
题型:不详
难度:
|
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在等差数列
中,已知
,
,S
420,则
.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
1
=1,a
7
=4,数列{b
n
}是等比数列,且b
1
=6,b
2
=a
3
,则满足b
n
a
26
<1的最小整数n是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
题型:不详
难度:
|
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5. 已知数列
,其中
是首项为1,公差为1的等差数列;
是公差为
的等差数列;
是公差为
的等差数列(
).
(1)若
,求
;
(2)试写出
关于
的关系式,并求
的取值范围;
(3)续写已知数列,使得
是公差为
的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
题型:不详
难度:
|
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