设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差d的取值范围.(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大
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设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差d的取值范围.(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大
题型:不详
难度:
来源:
设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.已知
a
3
=12,
S
12
>0,
S
13
<0.
(Ⅰ)求公差
d
的取值范围.
(Ⅱ)指出
S
1
,
S
2
,…,
S
12
中哪一个值最大,并说明理由.
答案
解析
本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.
(Ⅰ)解:依题意,有
,
①
②
即
由
a
3
=12,得
a
1
=12-2
d
. ③
将③式分别代①、②式,得
,
<
d
<-3
(Ⅱ)解法一:由
d
<0可知
a
1
>
a
2
>
a
3
>…>
a
12
>
a
13
.
因此,若在1≤
n
≤12中存在自然数
n
,使得
a
n
>0,
a
n+1
<0,则
S
n
就是
S
1
,
S
2
,…,
S
12
中的最大值.
由于
S
12
=6(
a
6
+
a
7
)>0,
S
13
=13
a
7
<0,即
a
6
+
a
7
>0,
a
7
<0,此得
a
6
>-
a
7
>0.
因为
a
6
>0,
a
7
<0,故在
S
1
,
S
2
,…,
S
12
中
S
6
的值最大.
(Ⅱ)解法二:
=
.
∵
d
<0,∴
最小时,
S
n
最大.
当
<
d
<-3时
,
∵正整数
n
=6时
最小,∴
S
6
最大.
(Ⅲ)解法三:由
d
<0可知
a
1
>
a
2
>
a
3
>…>
a
12
>
a
13
.
因此,若在1≤
n
≤12中存在自然数
n
,使得
a
n
>0,
a
n
+1
<0,
则
S
n
就是
S
1
,
S
2
,…,
S
12
中的最大值.
故在
S
1
,
S
2
,…,
S
12
中
S
6
的值最大.
举一反三
设{
a
n
}是等差数列,
b
n
=
.已知
b
1
+
b
2
+
b
3
=
,
b
1
b
2
b
3
=
.
求等差数列的通项
a
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{
a
n
}的前11项的和为55,去掉一项
a
k
后,余下10项的算术平均值为4.若
a
1
=-5,则
k
=
.
题型:不详
难度:
|
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设
,其中
为实数,
,
,
,若
,则
.
题型:不详
难度:
|
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设数列
的前
项和
满足:
,
,则通项
=_____.
题型:不详
难度:
|
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设
,
.证明:当且仅当
时,存在数列
满足以下条件:
(ⅰ)
,
;
(ⅱ)
存在;
(ⅲ)
,
.
题型:不详
难度:
|
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