(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn, 且满足条件:4S n =+ 4n – 1 , nÎN*.(1) 证明:(a n– 2)2 –="0" (
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(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn, 且满足条件:4S n = + 4n – 1 , nÎN*. (1) 证明:(a n– 2)2 – ="0" (n ³ 2);(2) 满足条件的数列不惟一,试至少求出数列{an}的的3个不同的通项公式 . |
答案
(2) 当a1 =1且a n + an – 1 = 2时,得an ="1. " 2)当a1 =1且a n – a n – 1 =" 2" 时,得an =" 2n–1" . 3)当a1 =3且a n – a n – 1 =" 2" 时,得an =" 2n" + 1 . 4)当a1 =3且a n + an – 1 = 2时,得an =2(–1)n+ 1 + 1. |
解析
(1) 由条件4S n = + 4n – 1 , nÎN*.得4S n – 1 = + 4(n – 1 ) – 1, 相减得:4a n = – + 4,化成 –4a n+ 4– = 0, ∴ (a n– 2)2 – ="0" . 4分 (2) 由(1)得:(a n –2 + an – 1 )(a n –2 – a n – 1 ) =" 0∴" a n + an – 1 =" 2 " 或a n – a n – 1 =" 2" . 2分 在4S n = + 4n – 1中,令n = 1,得4a1 = + 4 – 1,解得:a1 =1或 a1 ="3. " 2分 分四种情况: 1)当a1 =1且a n + an – 1 = 2时,得an =1. 2)当a1 =1且a n – a n – 1 =" 2" 时,得an =" 2n–1" . 3)当a1 =3且a n – a n – 1 =" 2" 时,得an =" 2n" + 1 . 4)当a1 =3且a n + an – 1 = 2时,得an =2(–1)n+ 1 + 1. 每个1分,有3个即可 |
举一反三
(本小题满分12分)等差数列 的前 项和为 . ⑴求数列 的通项 与前 项和 ;⑵设 ,求证:数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. |
(本小题满分14分)已知 的首项为a1,公比q为正数(q≠1)的等比数列,其前n项和为Sn,且 . (1)求q的值; (2)设 ,请判断数列 能否为等比数列,若能,请求出a1的值,否则请说明理由. |
(本小题满分15分)已知二次函数 满足条件:① ; ② 的最小值为 . (1) 求函数 的解析式; (2) 设数列 的前 项积为 , 且 , 求数列 的通项公式; (3) 在(2)的条件下, 求数列 的前 项的和. |
((本小题满分12分) 已知数列 ,设 ,数列 .(Ⅰ)求数列 的通项公式;(Ⅱ)若数列 的前 项和为 ,求 . |
(本题满分16满分)设正项数列 的前 项和为 , 为非零常数.已知对任意正整数 ,当 时, 总成立. (1)证明:数列 是等比数列;(2) 若正整数 成等差数列,求证: ≥ . |
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