已知数列{an}满足[2+(-1)n+1]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n•3n,n∈N*,a1=2.(Ⅰ)求a2,a3的值;(Ⅱ)设bn=a2

已知数列{an}满足[2+(-1)n+1]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n•3n,n∈N*,a1=2.(Ⅰ)求a2,a3的值;(Ⅱ)设bn=a2

题型:盐城模拟难度:来源:
已知数列{an}满足[2+(-1)n+1]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n•3n,n∈N*,a1=2.
(Ⅰ)求a2,a3的值;
(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明:{bn}是等差数列;
(Ⅲ)设cn=an+
1
2
n2,求数列{cn}的前n项和Sn
答案
(Ⅰ)因为数列{an}满足[2+(-1)n+1]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n•3n,(*),且a1=2,
所以将n=1代入(*)式,得3a1+a2=-2,故a2=-8
将n=2代入(*)式,得a2+3a3=7,故a3=5
(Ⅱ)证明:在(*)式中,用2n代换n,得[2+(-1)2n+1]a2n+[2+(-1)2n]a2n+1=1+(-1)2n•6n,
即a2n+3a2n+1=1+6n  ①,
再在(*)式中,用2n-1代换n,得[2+(-1)2n]a2n-1+[2+(-1)2n-1]a2n=1+(-1)2n-1•(6n-3),
即3a2n-1+a2n=4-6n②,
①-②,得3(a2n+1-a2n-1)=12n-3,即bn=4n-1
∴bn+1-bn=4,
∴{bn}是等差数列;
(Ⅲ)因为a1=2,由(Ⅱ)知,a2k-1=a1+(a3-a1)+…+(a2k-1-a2k-3)=(k-1)(2k-1)+2    ③,
将③代入②,得3(k-1)(2k-1)+6+a2k=4-6k,即a2k=-6k2+3k-5
所以c2k-1=a2k-1+
1
2
(2k-1)2=-4k2-5k+
7
2
,c2k=a2k+
1
2
(2k)2=-4k2+3k-5,
则c2k-1+c2k=-2k-
3
2

所以S2k=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(c2k-1+c2k)=-k2-
5
2
k

所以S2k-1=S2k-c2k=(-k2-
5
2
k
)-(-4k2+3k-5)=3k2-
11k
2
+5
故Sn=





3n2-5n+12
4
,n为奇数
-
n2+5n
4
,n为偶数
举一反三
已知数列{an}的前n项和为Sn,正数数列{bn}中b2=e,(e为自然对数的底≈2.718)且∀n∈N*总有2n-1是Sn与an的等差中项,


bn+1
bnbn+1
的等比中项.
(1)求证:∀n∈N*anan+12n
(2)求证:∀n∈N*
3
2
(an-1)<lnb1+lnb2+…+lnbn<3an-1
题型:广东模拟难度:| 查看答案
已知{an}是等差数列,a6+a7=20,a7+a8=28,则该数列前13项和S13等于(  ).
A.156B.132C.110D.100
题型:芜湖二模难度:| 查看答案
把100个面包分给5个人,使每人所得的面包数成等差数列,且使较多的三份之和的
1
3
等于较少的两份之和,则最少的一份面包个数是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别An和Bn,且
An
Bn
=
7n+45
n+3
,则使得
an
bn
为整数的正整数n的值是(  )
A.1,3,5,8,11B.所有正整数C.1,2,3,4,5D.1,2,3,5,11
题型:不详难度:| 查看答案
设Sn表示等差数列{an}的前n项和,已知
S5
S10
=
1
3
,那么
S10
S20
等于(  )
A.
1
9
B.
3
10
C.
1
8
D.
1
3
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.