已知数列{an}、{bn}中,对任何正整数n都有:a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2.(1)若数列{an}是首项
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已知数列{an}、{bn}中,对任何正整数n都有:a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2. (1)若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{bn}是等比数列; (2)若数列{bn}是等比数列,数列{an}是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由; |
答案
(1)依题意数列{an}的通项公式是an=n, 故等式即为bn+2bn-1+3bn-2++(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2,bn-1+2bn-2+3bn-3++(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1(n≥2), 两式相减可得bn+bn-1++b2+b1=2n- 得bn=2n-1,数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列. (2)设等比数列{bn}的首项为b,公比为q,则bn=bqn-1,从而有:bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3++bqan-1+ban=2n+1-n-2, 又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3++ban-1=2n-n-1(n≥2), 故(2n-n-1)q+ban=2n+1-n-2 an=×2n+×n+, 要使an+1-an是与n无关的常数,必需q=2, 即①当等比数列{bn}的公比q=2时,数列{an}是等差数列,其通项公式是an=; ②当等比数列{bn}的公比不是2时,数列{an}不是等差数列. |
举一反三
已知数列an=(n+1)×()n,求{an}的前n项和Sn. |
已知等差数列{an}满足a3+a7=10,则该数列的前9项和S9=______. |
已知数列{an}满足[2+(-1)n+1]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n•3n,n∈N*,a1=2. (Ⅰ)求a2,a3的值; (Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设cn=an+n2,求数列{cn}的前n项和Sn. |
已知数列{an}的前n项和为Sn,正数数列{bn}中b2=e,(e为自然对数的底≈2.718)且∀n∈N*总有2n-1是Sn与an的等差中项,是bn与bn+1的等比中项. (1)求证:∀n∈N*有an<an+1<2n; (2)求证:∀n∈N*有(an-1)<lnb1+lnb2+…+lnbn<3an-1. |
已知{an}是等差数列,a6+a7=20,a7+a8=28,则该数列前13项和S13等于( ). |
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