28、已知数列{an}、{bn}满足:a1=1,a2=a(a为实数),且bn=an.an+1,其中n=1,2,3,…(1)求证:“若数列{an}是等比数列,则数
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28、已知数列{an}、{bn}满足:a1=1,a2=a(a为实数),且bn=an.an+1,其中n=1,2,3,… (1)求证:“若数列{an}是等比数列,则数列{bn}也是等比数列”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题;判断它是真命题还是假命题,并说明理由. |
答案
(I)因an是等比数列, a1=1,a2=a ∴an=an-1 ∵bn=an.an+1, ∴= ==a2 ∴bn是以a为首项,a2为公比的等比数列. (II)(I)中命题的逆命题是:若bn是等比数列,则an也是等比数列,是假命题. 设bn的公比为q则 ===q,(q≠0) 又a1=1,a2=a ∴a1,a3,…a2n-1是以1为首项,q为公比的等比数列, a2,a4…a2n…是以a为首项,q为公比的等比数列, 即an为1,a,q,aq,q2,aq2, 但当q≠a2时,an不是等比数列,故逆命题是假命题. |
举一反三
已知数列{an}是等差数列,a10=10,前10项和S10=70,则其公差d=______. |
已知数列{an}的前三项依次为-2,2,6,且前n项和Sn是n的不含常数项的二次函数,则a100=( ) |
设等差数列{an}中,a8=a11+3,则数列的前9项之和S9=( ) |
在等差数列{an}中,若a4+a5+a6=450,则a2+a8的值为 . |
设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=2-2an(n∈N*). (1)求,,,并证明-=(n≥2); (2)设bn=(1-an)(1-an+1),求数列{bn}的前n项和Sn. |
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