(1)因为a1=1,an+1=an+λ•2n(n∈N*), 所以a2=a1+λ•21=1+2λ,a3=a2+λ•22=1+6λ. 因为a1,a2+2,a3成等差数列, 所以a1+a3=2(a2+2),即2+6λ=2(3+2λ), 解得λ=2. (2)由(1)得,λ=2,所以an+1=an+2n+1(n∈N*), 所以an-an-1=2n(n≥2). 当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+22+23+…+2n=1+=2n+1-3. 又a1=1也适合上式, 所以数列(-∞,a]的通项公式为an=2n+1-3(n∈N*). (3)证明:由(2)得,an=2n+1-3,所以bn=. 因为bn+1-bn=-==, 当n≥3时,-(n-1)2+2<0,所以当n≥3时,bn+1-bn<0,即bn+1<bn. 又b1=<b2=<b3=, 所以bn≤b3=(n∈N*). |