数列{bn}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1+b3=5，b1•b3=4．（1）若an=log2bn+3，求证：数列{an}是等差数列；（2）若a21+a2+

题型：不详难度：来源：

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁•b₃=4．
（1）若a_n=log₂b_n+3，求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若

a

21

+a2+a3+…+a_m≤a₄₆，求m的最大值．

答案

（1）∵b₁+b₃=5，b₁b₃=4，且b₁＜b₃
∴b₁=1，b₃=4
∴q=2
∴bn=2n-1
∵a_n=log₂b_n+3=n+2，
∵a_n+1-a_n=（n+1）+2-（n+2）=1，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2
所以数列{a_n}是以3为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得

a

21

+a2+a3+…+a_m=9+

(a2+am)(m-1)

2

≤48

即9+

(4+m+2)(m-1)

2

≤48
整理得m²+5m-84≤0
解得：-12≤m≤7
∵m∈N^*
∴m_max=7