已知等差数列{an}的公差是d,Sn是该数列的前n项和、(1)试用d,Sm,Sn表示Sm+n,其中m,n均为正整数;(2)利用(1)的结论求“已知Sm=Sn(m
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已知等差数列{an}的公差是d,Sn是该数列的前n项和、 (1)试用d,Sm,Sn表示Sm+n,其中m,n均为正整数; (2)利用(1)的结论求“已知Sm=Sn(m≠n),求Sm+n”; (3)若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q,前n项和为Sn,试类比问题(1)的结论,写出一个相应的结论且给出证明,并利用此结论求解问题:“已知各项均为正数的等比数列{bn},其中S10=5,S20=15,求数列{bn}的前50项和S50.” |
答案
(1)设等差数列{an}的首项是a1, ∴Sn=na1+d,Sm=ma1+d, ∴Sm+n=(m+n)a1+d =(m+n)a1+d =ma1+d+na1+d+mnd =Sm+Sn+mnd; (2)由条件,可得Sm=ma1+d①,Sn=na1+d②, ②×n-①×m得: (m-n)sn=nm(m-1)d-mn(n-1)d, 整理得mnd=-2sn,, 则Sm+n=Sm+Sn+mnd=2sn-2sn=0. (3)类比得到等比数列的结论是:若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q,前n项和为Sn,则对任意正整数m、n,都有sm+n=sm+qmsn. 证明如下:不妨设m≤n,则sm+n=(b1+b2+…+bm)+(bm+1+bm+2+…+bn+m) =sm+(b1qm+b2qm+…+bnqm) =sm+qm(b1+b2+…+bn) =sm+qmsn, ∴sm+n=sm+qmsn. 问题解答如下:由s20=s10+10=s10+q10s10,得q10===2, 则s30=s10+20=s10+q10s20=5+2×15=35, ∴s50=s20+30=s20+q20s30=15+22×35=155. |
举一反三
已知向量=(sinA,sinB),=(cosB,cosA),•=sin2C,其中A、B、C为△ABC的内角. (Ⅰ)求角C的大小; (Ⅱ)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且• (-) =18,求AB的长. |
(Ⅰ)已知函数f(x)=.数列{an}满足:an>0,a1=1,且=f(),记数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=[+(+1)n].求数列{bn}的通项公式;并判断b4+b6是否仍为数列{bn}中的项?若是,请证明;否则,说明理由. (Ⅱ)设{cn}为首项是c1,公差d≠0的等差数列,求证:“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1,使c1=md”. |
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a5+a7=15,则S9=( ) |
已知分别以d1,d2为公差的等差数列{an},{bn}满足a1=18,b14=36. (1)若d1=18,且存在正整数m,使得am2=bm+14-45,求证:d2>108; (2)若ak=bk=0,且数列a1,a2,---,ak,bk+1,bk+2,---,b14的前n项和Sn满足S14=2Sk,求数列{an},{bn}的通项公式; (3)在(2)的条件下,令cn=2an,dn=2bn,问不等式cndn+1≤cn+dn是否对n∈N*恒成立?请说明理由. |
在等差数列{an}中,a3+a6=4,则a1+a2+a3+…+a8=______. |
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