在平面直角坐标系xOy中,已知F1(-4,0),直线l:x=-2,动点M到F1的距离是它到定直线l距离的2倍.设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程.
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在平面直角坐标系xOy中,已知F1(-4,0),直线l:x=-2,动点M到F1的距离是它到定直线l距离的2倍.设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知F
1
(-4,0),直线l:x=-2,动点M到F
1
的距离是它到定直线l距离的
2
倍.设动点M的轨迹曲线为E.
(1)求曲线E的轨迹方程.
(2)设点F
2
(4,0),若直线m为曲线E的任意一条切线,且点F
1
、F
2
到m的距离分别为d
1
,d
2
,试判断d
1
d
2
是否为常数,请说明理由.
答案
(1)由题意,设点M(x,y),则有
|M
F
1
|=
(x+4)
2
+
y
2
,点M(x,y)到直线的距离d=|x-(-2)|=|x+2|,故
(x+4)
2
+
y
2
=
2
|x+2|
,化简后得:x
2
-y
2
=8.
故动点M的轨迹方程为x
2
-y
2
=8
(2)d
1
d
2
是常数,证明如下:
若切线m斜率不存在,则切线方程为
x=±2
2
,此时
d
1
d
2
=(c+a)(c-a)=
b
2
=8
当切线m斜率存在时,设切线m:y=kx+b,代入x
2
-y
2
=8,整理得:x
2
-(kx+b)
2
=8,
∴(1-k
2
)x
2
-2bkx-(b
2
+8)=0
由△=(-2bk)
2
+4(1-k
2
)(b
2
+8)=0,化简得:b
2
=8k
2
-8
又由m:kx-y+b=0,∴
d
1
=
|-4k+b|
k
2
+1
,
d
2
=
|4k+b|
k
2
+1
,
∴
d
1
d
2
=
|16
k
2
-
b
2
|
k
2
+1
=
|16
k
2
-(8
k
2
-8)|
k
2
+1
=8
=常数.
综上,故对任意切线m,d
1
d
2
是常数
举一反三
已知在直角坐标系xOy中,圆锥曲线C的参数方程为
x=2cosθ
y=
3
sinθ
(θ为参数),定点
A(0,-
3
)
,F
1
,F
2
是圆锥曲线C的左,右焦点.
(1)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点F
1
且平行于直线AF
2
的直线l的极坐标方程;
(2)在(I)的条件下,设直线l与圆锥曲线C交于E,F两点,求弦EF的长.
题型:黑龙江一模
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的长半轴是短半轴的
3
倍,直线
x-y+
2
=0
经过
椭圆C的一个焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设一条直线 l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为
3
2
,求△AOB面积的最大值.
题型:深圳模拟
难度:
|
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抛物线y
2
=2px的焦点与双曲线
x
2
3
-
y
2
=1
的右焦点重合.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积.
题型:不详
难度:
|
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要使直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆
x
2
7
+
y
2
a
=1总有公共点,实数a的取值范围是( )
A.0<a≤1
B.0<a<7
C.1≤a<7
D.1<a≤7
题型:不详
难度:
|
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若直线mx+ny=4和⊙O:x
2
+y
2
=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1
的交点个数为( )
A.0个
B.1个
C.至多1个
D.2个
题型:不详
难度:
|
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