已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0,且a3+2是a2,a4的等差中项.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)若bn=a

已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0,且a3+2是a2,a4的等差中项.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)若bn=a

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已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an
(Ⅱ)若bn=anlog
1
2
anSn=b1+b2+…+bn
,求使Sn+n•2n+1>50成立的正整数n的最小值.
答案
(Ⅰ)∵an+12-an+1an-2an2=0,∴(an+1+an)(an+1-2an)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,
∴an+1+an>0,
∴an+1-2an=0,
即an+1=2an,所以数列{an}是以2为公比的等比数列.
∵a3+2是a2,a4的等差中项,
∴a2+a4=2a3+4,
∴2a1+8a1=8a1+4,
∴a1=2,
∴数列{an}的通项公式an=2n
(Ⅱ)由(Ⅰ)及bn=anlog
1
2
an
得,bn=-n•2n
∵Sn=b1+b2++bn
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--(n-1)•2n-n•2n+1
①-②得,Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2

要使Sn+n•2n+1>50成立,只需2n+1-2>50成立,即2n+1>52,
∴使Sn+n•2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.
举一反三
数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
a2n
,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn
n
n+1
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设数列{an}的通项公式为an=an+b(n∈N*,a>0).数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.
(1)若a=2,b=-3,求b10
(2)若a=2,b=-1,求数列{bm}的前2m项和公式;  
(3)是否存在a和b,使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求a和b的取值范围;如果不存在,请说明理由.
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(文)已知函数f(x)=2sinx+3tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈(-
π
2
π
2
),且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k值为(  )有f(ak)=0.
A.13B.14C.15D.16
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设数列{an}的通项公式为an=2n,数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+
3
2
bn=0
,(t∈R,n∈N*).
(1)试确定实数t的值,使得数列{bn}为等差数列;
(2)当数列{bn}为等差数列时,对每个正整数k,在ak和ak+1之间插入bk个2,得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和,试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m.
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如果等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于______.
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