已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且(Sn-2)2+3Tn=4,n∈N*.(1)证明数列{an}是等比数列,并写出

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且(Sn-2)2+3Tn=4,n∈N*.(1)证明数列{an}是等比数列,并写出

题型:宿迁一模难度:来源:
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且(Sn-2)2+3Tn=4,n∈N*
(1)证明数列{an}是等比数列,并写出通项公式;
(2)若Sn2Tn<0对n∈N*恒成立,求λ的最小值;
(3)若an2xan+12yan+2成等差数列,求正整数x,y的值.
答案
(1)因为(Sn-2)2+3Tn=4
其中Sn是数列{an}的前n项和,Tn是数列{
a2n
}
的前n项和,且an>0,
当n=1时,由(a1-2)2+3a12=4
解得a1=1,…(2分)
当n=2时,由(1+a2-2)2+3(1+a22)=4
解得a2=
1
2
; …(4分)
(Sn-2)2+3Tn=4
(Sn+1-2)2+3Tn+1=4
两式相减得(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-4)+3
a2n+1
=0

(Sn+1+Sn-4)+3
a n+1
=0
,…(5分)
亦即2Sn+1-Sn=2,从而2Sn-Sn-1=2,(n≥2),
再次相减得an+1=
1
2
an,(n≥2)
,又a2=
1
2
a1

所以
an+1
an
=
1
2
,(n≥1)

所以数列{an}是首项为1,公比为
1
2
的等比数列,…(7分)
其通项公式为an=
1
2n-1
,n∈N*.…(8分)
(2)由(1)可得Sn=
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
=2[1-(
1
2
)
n
]

Tn=
1-(
1
4
)
n
1-
1
4
=
4
3
[1-(
1
4
)
n
]
,…(10分)
Sn2Tn<0对n∈N*恒成立,
只需λ>
Sn2
Tn
=3×
1-(
1
2
)n
1+(
1
2
)n
=3-
6
2n+1
对n∈N*恒成立,
∵3-
6
2n+1
<3对n∈N*恒成立,∴λ≥3.
(3)若an2xan+12yan+2成等差数列,其中x,y为正整数,
1
2n-1
2x
2n
2y
2n+1
成等差数列,
整理,得2x=1+2y-2
当y>2时,等式右边为大于2的奇数,等式左边为偶数或1,
等式不能成立,
∴满足条件的正整数x,y的值为x=1,y=2.
举一反三
设等比数列{an}的前n项和为Sn,a4=a1-9,a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式,
(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
题型:泰安一模难度:| 查看答案
若{an}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9(  )
A.不是等差数列B.是递增数列
C.是等差数列D.是递减数列
题型:蚌埠二模难度:| 查看答案
已知{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列,则q=(  )
A.1或-
1
2
B.1C.-
1
2
D.-2
题型:资阳一模难度:| 查看答案
已知数列{an}为等差数列,且a6+a8=
3
,则tan(a5+a9)的值为(  )
A.


3
B.-


3
C.±


3
D.-


3
3
题型:绵阳一模难度:| 查看答案
设正项等比数列{an}的首项a1=
1
2
,前n项和为Sn,且-a2,a3,a1成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项;
(Ⅱ)求数列{nSn}的前n项和Tn
题型:浙江二模难度:| 查看答案
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