已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且(Sn-2)2+3Tn=4,n∈N*.(1)证明数列{an}是等比数列,并写出
题型:宿迁一模难度:来源:
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且(Sn-2)2+3Tn=4,n∈N*. (1)证明数列{an}是等比数列,并写出通项公式; (2)若Sn2-λTn<0对n∈N*恒成立,求λ的最小值; (3)若an,2xan+1,2yan+2成等差数列,求正整数x,y的值. |
答案
(1)因为(Sn-2)2+3Tn=4, 其中Sn是数列{an}的前n项和,Tn是数列{}的前n项和,且an>0, 当n=1时,由(a1-2)2+3a12=4, 解得a1=1,…(2分) 当n=2时,由(1+a2-2)2+3(1+a22)=4, 解得a2=; …(4分) 由(Sn-2)2+3Tn=4, 知(Sn+1-2)2+3Tn+1=4, 两式相减得(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-4)+3=0, 即(Sn+1+Sn-4)+3=0,…(5分) 亦即2Sn+1-Sn=2,从而2Sn-Sn-1=2,(n≥2), 再次相减得an+1=an,(n≥2),又a2=a1, 所以=,(n≥1) 所以数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,…(7分) 其通项公式为an=,n∈N*.…(8分) (2)由(1)可得Sn==2[1-()n], Tn==[1-()n],…(10分) 若Sn2-λTn<0对n∈N*恒成立, 只需λ>=3×=3-对n∈N*恒成立, ∵3-<3对n∈N*恒成立,∴λ≥3. (3)若an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x,y为正整数, 则,,成等差数列, 整理,得2x=1+2y-2, 当y>2时,等式右边为大于2的奇数,等式左边为偶数或1, 等式不能成立, ∴满足条件的正整数x,y的值为x=1,y=2. |
举一反三
设等比数列{an}的前n项和为Sn,a4=a1-9,a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式, (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列. |
若{an}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9( )A.不是等差数列 | B.是递增数列 | C.是等差数列 | D.是递减数列 |
|
已知{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列,则q=( ) |
已知数列{an}为等差数列,且a6+a8=,则tan(a5+a9)的值为( ) |
设正项等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且-a2,a3,a1成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{nSn}的前n项和Tn. |
最新试题
热门考点