设正项等比数列{an}的首项a1=12,前n项和为Sn,且-a2,a3,a1成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{nSn}的前n项和Tn.
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设正项等比数列{an}的首项a1=12,前n项和为Sn,且-a2,a3,a1成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{nSn}的前n项和Tn.
题型:浙江二模
难度:
来源:
设正项等比数列{a
n
}的首项a
1
=
1
2
,前n项和为S
n
,且-a
2
,a
3
,a
1
成等差数列.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项;
(Ⅱ)求数列{nS
n
}的前n项和T
n
.
答案
(Ⅰ)设设正项等比数列{a
n
}的公比为q(q>0),由题有a
1
-a
2
=2a
3
,且
a
1
=
1
2
,
∴
a
1
-
a
1
q=2
a
1
q
2
,即有2q
2
+q-1=0,解得q=-1(舍去)或
q=
1
2
,
∴
a
n
=
1
2
n
;
(Ⅱ)因为是首项、公比都为
1
2
的等比数列,故
S
n
=
1
2
(1-
1
2
n
)
1-
1
2
=1-
1
2
n
,n
S
n
=n-
n
2
n
.
则数列{nS
n
}的前n项和
T
n
=(1+2+…+n)-(
1
2
+
2
2
2
+…+
n
2
n
)
,
T
n
2
=
1
2
(1+2+…+n)-(
1
2
2
+
2
2
3
+…+
n-1
2
n
+
n
2
n+1
)
.
前两式相减,得
T
n
2
=
1
2
(1+2+…+n)-(
1
2
+
1
2
2
+…+
1
2
n
)+
n
2
n+1
=
n(n+1)
4
-
1
2
(1-
1
2
n
)
1-
1
2
+
n
2
n+1
,
即
T
n
=
n(n+1)
2
+
1
2
n-1
+
n
2
n
-2
.
举一反三
等差数列f(x)中,已知a
1
=-12,S
13
=0,使得a
n
>0的最小正整数n为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
题型:济南二模
难度:
|
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已知数列{a
n
}为等差数列,{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
+a
3
=
3
2
,S
5
=5
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足a
n
b
n
=
1
4
,T
n
=b
1
b
2
+b
2
b
3
+b
3
b
4
+…+b
n
b
n+1
,求T
n
.
题型:眉山二模
难度:
|
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等差数列{a
n
}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为______.
题型:不详
难度:
|
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若数列{b
n
}:对于n∈N
*
,都有b
n+2
-b
n
=d(常数),则称数列{b
n
}是公差为d的准等差数列.如数列c
n
:若
c
n
=
4n-1,当n为奇数时
4n+9,当n为偶数时
,则数列{c
n
}是公差为8的准等差数列.设数列{a
n
}满足:a
1
=a,对于n∈N
*
,都有a
n
+a
n+1
=2n.
(Ⅰ)求证:{a
n
}为准等差数列;
(Ⅱ)求证:{a
n
}的通项公式及前20项和S
20
.
题型:不详
难度:
|
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设数列{a
n
}的前n项和为S
n
且
S
n
2
-2S
n
-a
n
S
n
+1=0,n=1,2,3…
(1)求a
1
,a
2
(2)求S
n
与S
n-1
(n≥2)的关系式,并证明数列{
1
S
n
-1
}是等差数列.
(3)求S
1
•S
2
•S
3
…S
2010
•S
2011
的值.
题型:不详
难度:
|
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