已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），a1=12．（1）求证：{1Sn}是等差数列；（2）求an的表达式．

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求a_n的表达式．

答案

（1）证明：∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），S_n≠0（n=1，2，3）．
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
又

1

S1

=

1

a1

=2，∴{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1），

1

Sn

=2+（n-1）•2=2n，∴S_n=

1

2n

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

〔或n≥2时，a_n=-2S_nS_n-1=-

1

2n(n-1)

〕；
当n=1时，S₁=a₁=

1

2

．
∴a_n=

1 2 (n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2)