已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.数列{bn}为等比数列,且b1=1,b4=8.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足
题型:丰台区二模难度:来源:
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.数列{bn}为等比数列,且b1=1,b4=8. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}满足cn=abn,求数列{cn}的前n项和Tn; (3)在(2)的条件下,数列{cn}中是否存在三项,使得这三项成等差数列?若存在,求出此三项;若不存在,说明理由. |
答案
(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2, ∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 当n=1时,a1=S1=1亦满足上式, 故an=2n-1,(n∈N*). 又数列{bn}为等比数列,设公比为q, ∵b1=1,b4=b1q3=8,∴q=2. ∴bn=2n-1(n∈N*). (2)cn=abn=2bn-1=2n-1. Tn=c1+c2+c3+…cn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…2n)-n=-n. 所以 Tn=2n+1-2-n. (3)假设数列{cn}中存在三项cm,ck,cl成等差数列,不妨设m<k<l(m,k,l∈N*) 因为 cn=2n-1, 所以 cm<ck<cl,且三者成等差数列. 所以 2ck=cl+cm, 即2(2k-1)=(2m-1)+(2l-1), 变形可得:2•2k=2m+2l=2m(1+2l-m) 所以 =1+2l-m,即2k+1-m=1+2l-m. 所以 2k+1-m-2l-m=1. 因为m<k<l(m,k,l∈N*), 所以 2k+1-m,2l-m均为偶数,而1为奇数, 所以等式不成立. 所以数列{cn}中不存在三项,使得这三项成等差数列. |
举一反三
已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项. (1)求a1的值及数列{an}的通项公式; (2)设bn=+(-1)n-1×2n+1λ,若数列{bn}是单调递增数列,求实数λ的取值范围. |
已知数列{an},其前n项和Sn=n2+n+1,则a8+a9+a10+a11+a12=______. |
已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a13+a14=77,且ak=13,则k=______. |
已知{an}是等差数列,a2=5,a5=14. (I)求{an}的通项公式; (II)设{an}的前n项和Sn=155,求n的值. |
有n(n≥3,n∈N*)个首项为1,项数为n的等差数列,设其第m(m≤n,m∈N*)个等差数列的第k项为amk(k=1,2,3,…,n),且公差为dm.若d1=1,d2=3,a1n,a2n,a3n,…,ann也成等差数列. (Ⅰ)求dm(3≤m≤n)关于m的表达式; (Ⅱ)将数列dm分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9)…, (每组数的个数组成等差数列),设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0),求数列{2cmdm}的前n项和Sn; (Ⅲ)设N是不超过20的正整数,当n>N时,对于(Ⅱ)中的Sn,求使得不等式(Sn-6)>dn成立的所有N的值. |
最新试题
热门考点