解(Ⅰ)由题意知,amn=1+(n-1)dm. a2n-a1n=[1+(n-1)d2]-[1+(n-1)d1]=(n-1)(d2-d1),同理,a3n-a2n=(n-1)(d3-d2),a4n-a3n=(n-1)(d4-d3),,ann-a(n-1)n=(n-1)(dn-dn-1).a1n,a2n,a3n,,ann成等差数列, 所以a2n-a1n=a3n-a2n=…=ann-a(n-1)n, 故d2-d1=d3-d2=…=dn-dn-1. 即{dn}是公差是d2-d1=3-1=2的等差数列. 所以,dm=2m-1(3≤m≤n,m,n∈N*). (Ⅱ)由(Ⅰ)知dm=2m-1(m∈N*). 数列dm分组如下:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),… 按分组规律,第m组中有2m-1个奇数, 所以第1组到第m组共有1+3+5+…+(2m-1)=m2个奇数. 注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+(2k-1)=k2, 所以前m2个奇数的和为(m2)2=m4,即前m组中所有数之和为m4, 所以(cm)4=m4. 因为cm>0,所以cm=m,从而2cmdm=(2m-1)•2m(m∈N*). 所以Sn=1•2+3•22+5•23+7•24+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n.2Sn =1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1, 故-Sn=2+2•22+2•23+2•24+…+2•2n-(2n-1)•2n+1 =2(2+22+23+…+2n)-2-(2n-1)•2n+1 =2×-2-(2n-1)•2n+1=(3-2n)2n+1-6, 所以Sn=(2n-3)2n+1+6. (Ⅲ)由(Ⅱ)得dn=2n-1(n∈N*),Sn=(2n-3)2n+1+6(n∈N*). 故不等式(Sn-6)>dn就是(2n-3)2n+1>50(2n-1). 考虑函数f(n)=(2n-3)2n+1-50(2n-1)=(2n-3)(2n+1-50)-100. 当n=1,2,3,4,5时,都有f(n)<0, 即(2n-3)2n+1<50(2n-1). 而f(6)=9(128-50)-100=602>0, 注意到当n≥6时,f(n)单调递增,故有f(n)>0. 因此当n≥6时,(2n-3)2n+1>50(2n-1)成立, 即(Sn-6)>dn成立. 所以满足条件的所有正整数N=5,6,7,20. |