在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).(1)试判断数列{1an}是否成等差数列;(2)设{bn}满足bn=1an,

在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).(1)试判断数列{1an}是否成等差数列;(2)设{bn}满足bn=1an,

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在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).
(1)试判断数列{
1
an
}
是否成等差数列;
(2)设{bn}满足bn=
1
an
,求数列{bn}的前n项和Sn
(3)若λan+
1
an+1
≥λ对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
答案
(1)∵数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*),
∴an-1-an=3anan-1
1
an
-
1
an-1
=3
(n≥2).
故数列{
1
an
}是等差数列.
(2)由(1)的结论可得bn=
1
an
=1+(n-1)×3,
所以bn=3n-2,
∴Sn=
n(1+3n-2)
2
=
n(3n-1)
2

(3)将an=
1
bn
=
1
3n-2
代入λan+
1
an+1
≥λ并整理得λ(1-
1
3n-2
)≤3n+1,
∴λ≤
(3n+1)(3n-2)
3n-3

原命题等价于该式对n≥2恒成立.
设Cn=
(3n+1)(3n-2)
3n-3

则Cn+1-Cn=
(3n+1)(3n-4)
3n(n-1)
>0,Cn+1>Cn
∵n=2时,Cn的最小值C2
28
3

∴λ的取值范围是(-∞,
28
3
].
举一反三
在各项都不等于零的等差数列{an}中,若m>1,且am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m等于(  )
A.38B.20C.10D.9
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已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=
2
3
an+n
,bn=(-1)n(an-3n+9),其中λ为实数,n为正整数.
(1)若数列{an}前三项成等差数列,求λ的值;
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(3)设0<a<b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
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椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点F,数列{|PnF|}是公差大于
1
100
的等差数列,则n的最大值为(  )
A.198B.199C.200D.201
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首项为正数的等差数列,前3项的和与前11项的和相等,此数列前几项和最大(  )
A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项
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一个等差数列的前4项之和是40,最后4项之和是80,所有项之和为210,则这个数列共有(  )
A.12项B.14项C.16项D.18项
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